高等数学(九)二重积分

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-19 00:13 被阅读0次

高等数学(九)二重积分
二重积分
p16二重积分
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其分布
7-1 二重积分的概念、计算和应用
人工智能学习大纲
2021-06-18
数分难点记录卡
考研冲刺高数之二重积分
2018-06-12

（一）二重积分的概念和性质

1、二重积分的概念

$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i,\eta _i \right) \Delta \sigma _i}$
几何意义： $\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}$ 在几何上表示以区域D为底，曲面 $z=f\left( x,y \right)$ 为顶，侧面是以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面的曲顶柱体的体积

2、二重积分的性质

性质1 (不等式)

若在D上 $f\left( x,y \right) \le g\left( x,y \right)$ ，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}\le \iint_D{g\left( x,y \right) \text{d}\sigma}$
若在D上有 $m\le f\left( x,y \right) \le M$ ，则
$\iint_D{m\text{d}\sigma}\le \iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}\le \iint_D{M\text{d}\sigma}$
$\left| \iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma} \right|\le \iint_D{\left| f\left( x,y \right) \right|\text{d}\sigma}$

性质2 (中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，S为区域D的面积， $\exists \left( \xi ,\eta \right) \in D$ ，使得
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}=f\left( \xi ,\eta \right) S$

（二）二重积分的计算

1、利用直角坐标系计算

先y后x
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_a^b{\left[ \int_{\varphi _1\left( x \right)}^{\varphi _2\left( x \right)}{f\left( x,y \right) \text{d}y} \right]}\text{d}x$
先x后y
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_c^d{\left[ \int_{\psi \left( y \right)}^{\psi _2\left( y \right)}{f\left( x,y \right) \text{d}x} \right]}\text{d}y$

2、利用极坐标计算

$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_{\alpha}^{\beta}{\left[ \int_{\varphi _1\left( \theta \right)}^{\varphi _2\left( \theta \right)}{f\left( \rho \cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \theta \right) \right) \rho \text{d}\rho} \right]}\text{d}\theta$

适合用极坐标计算二重积分的特征：

适合用极坐标计算的被积函数，如 $f\left( \sqrt{x^2+y^2} \right) ,f\left( \frac{y}{x} \right) ,f\left( \frac{x}{y} \right)$
适合用极坐标的积分域，如 $x^2+y^2\le R^2$

3、利用奇偶性和对称性计算

若积分域D关于y轴对称，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\left\{ _{0,f\left( -x,y \right) =-f\left( x,y \right)}^{\iint_{Dx\ge 0}{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y},f\left( -x,y \right) =f\left( x,y \right)} \right.$

4、利用变量对称性计算

若D关于y=x对称，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\iint_D{f\left( y,x \right) \text{d}x\text{d}y}$

高等数学(九)二重积分
（一）二重积分的概念和性质 1、二重积分的概念几何意义：在几何上表示以区域D为底，曲面为顶，侧面是以D的边界为准...
二重积分
二重积分定义二重积分的性质利用直角坐标计算二重积分分段函数的二重积分交换积分次序
p16二重积分
二重积分用体积引出二重积分面积总体积理解二重积分性质二重积分计算直角坐标系极坐标 X 型写法 Y型...
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其分布
课前导读重温高等数学二重积分的知识。第一节二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量在许多实际问题中，需要...
7-1 二重积分的概念、计算和应用
1、 x型区域上的二重积分 2、 Y 型区域上的二重积分 3、极坐标系下二重积分的计算四、二重积分换元法略...
人工智能学习大纲
Python/高等数学、大数据、高等数学、机器学习、
2021-06-18
尽管没有学好二重积分，但是过了初会真的值
数分难点记录卡
不定积分的几何意义经常遗忘的几个基本积分公式定积分的中值定理二重积分的中值定理二重积分计算的特别注意 (2...
考研冲刺高数之二重积分
主要掌握计算方法。想不到的一些技巧 1.定积分的乘积问题，可以考虑转化为二重积分求解。 2.二重积分中值定理积...
2018-06-12
二重积分的计算方法首先二重积分的几何意义是什么呢？z=f（x，y）是一个连续曲面，以函数z=f（x，y）为顶，闭...

高等数学(九)二重积分

（一）二重积分的概念和性质

1、二重积分的概念

2、二重积分的性质

（二）二重积分的计算

1、利用直角坐标系计算

2、利用极坐标计算

3、利用奇偶性和对称性计算

4、利用变量对称性计算

相关文章

高等数学(九)二重积分

二重积分

p16二重积分

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其分布

7-1 二重积分的概念、计算和应用

人工智能学习大纲

2021-06-18

数分难点记录卡

考研冲刺高数之二重积分

2018-06-12

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读