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幂函数与零点问题：2018年文数全国卷B题21

幂函数与零点问题：2018年文数全国卷B题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-20 23:40 被阅读0次

零点问题：2018年文科数学全国卷B题21

已知函数f(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-a\left(x^{2}+x+1\right) .

（1）若 a=3，求 f(x) 的单调区间;

（2）证明： f(x) 只有一个零点.

【解答问题1】

f'(x)=x^2-a(2x+1)=x^2-2ax-a

若 a=3，则 f'(x)=x^2-6x-3

令 f'(x)=0, 解得：x_1=3-2\sqrt{3},\;x_2=3+2\sqrt{3}

当 x \in (-\infty, 3-2\sqrt{3}), f'(x) \gt 0，函数单调递增；

当 x \in (3-2\sqrt{3}, 3+2\sqrt{3}), f'(x) \lt 0，函数单调递减；

当 x \in (3+2\sqrt{3}, +\infty), f'(x) \gt 0，函数单调递增；

【解答问题2】

f'(x)=x^2-2ax-a

(- \dfrac{1}{3})x \cdot f'(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}ax^2+\dfrac{1}{3}ax

\dfrac{1}{3}af'(x)=\dfrac{1}{3}ax^2-\dfrac{2}{3}a^2x-\dfrac{1}{3}a^2

设 x_1,x_2 为导函数 f'(x) 的零点，且 x_1 \lt x_2 , 则 f(x_1),f(x_2) 为函数 的极小值，极大值。

x_1,x_2 是方程 x^2-2ax-a=0 的根，所以 x_1+x_2=2a;\;x_1x_2=-a;

f(x_1)-\dfrac {1}{3}x_1f'(x_1)+\dfrac{1}{3}af'(x_1)=f(x_1)+0+0

f(x_1)=-\dfrac {a}{3}[2(a+1)x_1+(a+3)]

f(x_2)=-\dfrac {a}{3}[2(a+1)x_2+(a+3)]

f(x_1) \cdot f(x_2)
=\dfrac{a^2}{9} [2(a+1)x_1+(a+3)] [2(a+1)x_2+(a+3)]

=\dfrac{a^2}{9}(9a^2+14a+9) \gt 0

由此可知：f(x_1), f(x_2) 同为正或同为负；

所以，(x_1,x_2) 区间内没有零点；

在 (-\infty,x_1) 和 (x_2,+\infty) 区间内，函数单调递增；

如果 f(x_1),f(x_2) 同为负，则在 (-\infty,x_1) 内没有零点；在 (x_2,+\infty) 区间内有一个零点；

如果 f(x_1),f(x_2) 同为正，则在 (-\infty,x_1) 内有一个零点；在 (x_2,+\infty) 区间内没有零点；

综上所述，函数 f(x) 只有一个零点. 证明完毕.

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