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杂题-1

杂题-1

作者: 道悅 | 来源:发表于2020-10-25 19:08 被阅读0次

已知a、b、c的取值范围均为闭区间[-2,2],且a+b+c=0,求a^2 +b^2 +c^2的最大值。

解：要取最大值，且三数之和为0，显然取最大值时，三数中必有一数为正，一数为负。由于三数对称，故不妨设a为正数，c为负数，即

2\geq a>0,-2\leq c<0。

a^2 +b^2 +c^2=a^2 +(-a-c)^2 +c^2 =2(a^2+ ac+ c^2 ).

设函数f(a)=2(a^2+ ac+ c^2 )。

令函数g(c)=2(c^2 +2c+4)

当c=-2时，g(-2)为最大值8，此时a=2，b=0，c=-2。故所求最大值为8.

此题在高中也可用立体几何来解，a+b+c=0为平面，最大值就是中心在原点的球面的最大直径，区间范围可表示为中心在原点，与三维坐标垂直的边长为4的正方体。

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