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2019-01-26[Stay Sharp]Beta distr

2019-01-26[Stay Sharp]Beta distr

作者: 三千雨点 | 来源:发表于2019-01-26 18:50 被阅读4次

Beta distribution

\operatorname { Beta } ( \mu | a , b ) = \frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } \mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 }

Beta distribution's mean is \frac { a } { a + b }

verification:

\begin{aligned}\mathrm {E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}\mu\operatorname{Beta}(\mu|a,b)d\mu \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mu \frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) }\mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 }d\mu \\&=\frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) }\int_{0}^{1} \mu^{(a + 1 -1)}(1-\mu)^{b-1}d\mu \\&= \frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } \frac { \Gamma ( a + 1) \Gamma ( b ) }{ \Gamma ( a + b + 1) } \int_{0}^{1}\operatorname {Beta}(\mu|a+1,b)d\mu\\&=\frac { \Gamma ( a + b )\Gamma ( a + 1 ) }{\Gamma ( a )\Gamma ( a + b + 1)}\\&=\frac{a}{a+b} \end{aligned}

Beta distribution's variance is \frac { a b } { ( a + b ) ^ { 2 } ( a + b + 1 ) }

verification:

\begin{aligned}\mathrm {E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}\mu^{2}\operatorname{Beta}(\mu|a,b)d\mu \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mu^{2} \frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) }\mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 }d\mu\\&=\frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) }\int_{0}^{1} \mu^{(a + 2 -1)}(1-\mu)^{b-1}d\mu \\&=\frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } \frac { \Gamma ( a + 2) \Gamma ( b ) }{ \Gamma ( a + b + 2) } \\&=\frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)}\end{aligned}

\begin{aligned}{\mathrm {E}[X]}^{2} &= {\left(\frac{a}{a+b}\right)}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \mathrm Var[X] &= \mathrm {E}[X^{2}] - {\mathrm {E}[X]}^{2} \\&=\frac { a b } { ( a + b ) ^ { 2 } ( a + b + 1 ) }\end{aligned}

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