Leetcode-96：不同的二叉搜索树

描述：
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

思路：

二叉搜索树：
①若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它根节点的值
②若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它根节点的值
③任意结点的左、右子树也是二叉搜索树

在本题中：
设dp(n)表示有n个结点时搜索二叉树有多少种可能，则

Ⅰ.当头结点的值为1时，左子树为空，右子树上有n - 1个结点，右子树的搜索二叉树个数为dp(n - 1)

Ⅱ.当头结点的值为i(1 < i < n)时，左子树由结点1—>i-1构成，右子树由结点i+1—>n构成；左子树的搜索二叉树个数为dp(i-1),右子树的搜索二叉树个数为dp(n - i);此时搜索二叉树总的个数为dp(i - 1) * dp(n - i)

Ⅲ.当头结点的值为n时，右子树为空，左子树上有n - 1个结点，左子树的搜索二叉树个数为dp(n - 1)

所以，n个结点时搜索二叉树的个数上述三个步骤的和。

递推公式：
dp(n)=dp(0)dp(n-1)+dp(1)dp(n-2)+dp(2)dp(n-3)+…+dp(n-1)dp(0)

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //dp[i]表示有i个结点时二叉树有多少种可能
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        
        //因为计算dp[n]需要知道dp[0]--->dp[n-1]。所以第一层循环是为了求dp[i]
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            //当有i个结点时，左子树的节点个数可以为0-->i-1个。剩下的是右子树。
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}