模型来源2013年A题，科罗拉多大学博尔德分校(University of Colorado, Boulder)的 The Best Rounded Rectangle for Ultimate Brownies论文
1. 标准烤箱中的烤盘排放
- 矩形烤盘排放
- 圆形烤盘排放
- 圆角矩形烤盘排放
1.1 矩形烤盘摆放
问题的第一部分是要在一个尺寸为 W x L 的烤箱中放入尽可能多的面积为 A 的烤盘。由于题目要求考虑形状"介于"矩形与圆形之间的烤盘，所以自然先从矩形和圆形烤盘的排放开始。
显然我们知道单个烤盘的面积 A 越小，能放入的数量越多。所以显然问题的关键不是要我们给出一个准确的数，关键是要看我们的讨论过程。 虽然题目没有挑明，但是我们应当知道要在针对烤盘的大小给出有依据的限定的前提下求最大数量 ，比如依据现实生活中一般烤盘的的面积或来源论文的数据。
就目前的情况来看，对于矩形烤盘来说，限定了面积为 A 的话，让烤盘的宽(或长)等于烤箱的宽(或长)，或为其1/n (n为整数)，能最大化地利用烤箱空间，此时能摆放N*=[WL/A], (中括号表示取整，W为烤箱宽，L为烤箱长)，烤箱剩余空间小于 A
看上去这种规格的盘子非常狭窄，下面我们用现实生活中的数据代入来看看：
矩形烤盘的摆放
虽然在问题的第二部分和第三部分才涉及热量分布的问题，在这里也要进行过渡，上面给出的也不是具体答案，只要有 烤盘面积为A, 让烤盘的宽(或高)等于烤箱的宽(或高)或为其1/n (n为整数) 在这个限制我们还可以对方案进行调整以满足对热量分布的均衡性需求的考虑。
矩形烤盘摆放方案可进一步调整以满足热量分布均匀性的需求
1.2 圆形烤盘摆放
圆形烤盘摆放
1.3 圆角矩形烤盘排放
注意下图的圆角矩形画得不标准，4个角应该是半径为 r 的1/4 圆。
当圆角矩形圆角之间的空隙总面积=矩形烤盘排放的最佳方案中剩余的面积时，空间利用率最大。
保持单个烤盘面积为 A 不变，烤盘宽度 2(w+r) 等于烤箱宽度 W 不变(同理后期也可以使其为W的1/n), 通过调节圆角半径 r 的值，来调整烤盘长度，挤掉矩形烤盘排放的最佳方案时在边上剩下那条狭长空隙的空间。
圆角矩形烤盘摆放
圆角矩形烤盘摆放2
圆角矩形烤盘摆放3
2. 热量分布的最均匀化
我们需要为热量分布建立一个模型
2.1 建立模型
热传导方程是已经存在的公式了，下面的最关键的那条公式应该是热传导方程的非标准形式吧，应该也是已经存在的了。
这么一看实际上各种问题本质上都是利用已有知识解决的，哪怕是数学建模这种看上去有些开创性的东西，也不过是利用已有的信息和公式、算法进行组合，形成解决特定问题的方案，不是什么玄学。
建立模型1
建立模型2
建立模型3
2.2 解析解
通常来说，上面的微分方程解出解析解是不太现实的，所以我们要通过数值计算得到一个数值近似解。
我们可以求出特定情形下(给定参数值)下的精确解，从而与数值解进行比较。
下面进行的时将模型转为温差 u(x,y,z,t) 为函数值的形式
下面得到的是解析解的公式，后面将运用这个公式
解析解1
解析解2
2.3 数值解
对于更复杂的区域，我们寻求近似解。在有些情况下可以应用专门软件包进行计算工作，这里我们将运用有限差分法通过自己编程进行计算。
感觉它们的模型其实就是计算公式,计算出各点的各时刻的温度，改变烤盘形状(在下面是体现在改变自己定义的 平直度 和 圆度)得出不同情况的热量分布均匀性，从而得出最优的热量分布均匀性的形状
数值解1
数值解2
数值解3
数值解4
2.4 数值解的稳定性和敏感性测试
为了保证有限差分法数值近似的稳定性，可以应用冯·诺伊曼分析。
选择A题的队伍都应该熟悉这样一种检验优先差分数值计算结果稳定性的方法。
数值解的稳定性和敏感性测试1
数值解的稳定性和敏感性测试2
2.5 理论结果与数值结果的比较
热量分布的均匀性度量
2.6 热量分布的均匀性度量
所以这里都提到了，题目关系的是蛋糕表面的温度分布，这里是整个蛋糕面团上的温度分布，是不是有点偏题了...不过这个模型整个面团的分布都能求了，求表面的温度就是把高度设为0的事
下面将得到模型的目标结果,即在不同情况下蛋糕的热量分布情况，从而可知热量分布最均匀的情况
这里的 平直度 和 圆度 是作者自己定义的，自己看感觉来吧
热量分布的均匀性度量
数值解的稳定性和敏感性测试1
3. 优化烤盘参数
- 更强调
N的情形(p >= 0.5) - 更强调
H的情形(p < 0.5)
优化烤盘参数1
优化烤盘参数2
4. 参考资料
《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究 第5辑》王杰，吴孟达，刘易成编著北京：高等教育
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