第22课对角化和A的幂

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-11-02 18:51 被阅读0次

第22课对角化和A的幂
【MIT】22-Diagonalization and Powe
线性代数笔记22
线性代数之——对角化和 A 的幂
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MIT 线性代数 22 对角化和A的幂，差分方程的线性代数解法
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特征值/特征向量、矩阵的对角化/矩阵的幂次方、解常系数线性
鼻咽癌

$S$ 特征向量矩阵

$S^{-1}AS=\Lambda$

将矩阵 $A$ 的特征向量按列组成矩阵 $S$ ，特征向量矩阵 $S$ 必须可逆（ $n$ 个线性无关特征向量）

假设 $A$ 有几个线性无关特性向量，组成的 $S$
$AS=A\begin{bmatrix}x_{col_1}&x_{col_2}&\dots&x_{col_n}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda_1x_{col_1}&\dots&\lambda_n x_{col_n}\end{bmatrix} \\ \underbrace{=}_{分离特征值} \begin{bmatrix}x_{col_1}&\dots&x_{col_n}\end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \lambda_1&0&\dots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&0 \\0&\dots&0&\lambda_n \end{bmatrix} }_{对角阵(特征值矩阵)记作\Lambda}=S\Lambda \\ \rightarrow AS=S\Lambda \\$

$\begin{eqnarray} AS=S\Lambda \underbrace{\rightarrow}_{左乘S^{-1}}S^{-1}AS=\Lambda \tag{1} \\ AS=S\Lambda \underbrace{\rightarrow}_{右乘S^{-1}}A=S\Lambda S^{-1} \tag{2} \end{eqnarray}$

考虑 $A^2$ 的特征值和特征向量

如果：
$Ax=\lambda x$
那么：
$A^2x=AAx=A\lambda x\underbrace{=}_{\lambda 特征值为一常数与A换位}\lambda Ax=\lambda\lambda x = \lambda^2x$

由 $(2)$ 式得
$A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1} = S\Lambda^2S^{-1}$

特征值和特征向量提供了理解矩阵幂的一个好方法
$A^K = S\Lambda^KS^{-1}$
什么条件，矩阵的幂趋向于零？

当 $K\to\infty$ 时 $A^K\to0$ 的条件是所有 $|\lambda_j|<1$

$A$ 必然存在 $n$ 个线性无关特征向量，而且可对角化的很好前提是所有 $\lambda$ 值不同，即没有重复的特征值 ，如果存在重复特征值，可能但不一定存在 $n$ 个线性无关特征向量，此不是完全否定的情况

例，单位阵的特征值，结果都是1，单位阵的特征向量却都没有任何不足，每个向量都是一个特征向量

计量特征值重复次数时，就用代数重度，这个重数，就是它作为多项式根的次数

例：
$A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix}2-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{vmatrix}=\underbrace{(2-\lambda)^2}_{多项式}\\ \to \lambda=2,2$
所以代数次数为2，二重根，代数重度为2，几何重度对于特征向量来讲，就是这个矩阵( $A-\lambda I$ )的零空间

每个特征值至少对应一个特征向量，无论从代数还是几何的角度来看，每个特征值对应唯一的特征向量而且各特征向量线性无关

矩阵对角化

从 $\vec {U_0}$ 开始:
$\underbrace{U_{k+1}}_{下一项} = \underbrace{AU_k}_{前一项} \\ U_1=AU_0;U_2=AU_1=A^2U_0,\dots U_k=A^kU_0$

解题：

根据初始和 $\vec {U_0}$ 求解

首先， $\vec {U_0}$ 可以写成特征向量的线性组合
$\vec{U_0}=cx_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n=SC\\ \begin{align} AU_0 &=Ac_1x_1+Ac_2x_2+\dots+Ac_nx_n\\ &=c_1\lambda_1x_1+c_2\lambda_2x_2+\dots+c_n\lambda_nx_n \end{align}\\ A^{100}U_0=c_1\lambda_1^{100}x_1+c_2\lambda_2^{100}x_2+\dots+c_n\lambda_n^{100}x_n=S\Lambda^{100}C$
由于 $A$ 乘以特征向量相当于某个数乘以特征向量 $\lambda$ :
$AU_0=S\Lambda S^{-1}U_0=S\Lambda S^{-1}\underbrace{(SC)}_{U_0}=S\Lambda C$

斐波那契数列

斐波那契数列：下一项等于前两项之和
$\begin{eqnarray} 0，1，1，3，5，8，13，\dots,F_{100}=?\\ F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}(二阶差分方程) \tag{1} \end{eqnarray}$
写成 $U_{k+1}=AU_k$ ，当前只有一个方程而不是方程组

先定义：
$U_k=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_k\end{bmatrix}$
人为添加方程：
$F_{k+1}=F_{k+1} \tag{2}$
方程组：
$\underbrace{ \begin{cases} F_{k+2}=F_{k+1}+F_k\\ F_{k+1}=F_{k+1} \end{cases} }_{二阶标量方和组}$
追加 $(2)$ 方程，用 $2\times2$ 的程组代替 $(1)$ 的二阶差分方程

向量形式如下：
$U_{k+1}= \overbrace{ \underbrace{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_k\end{bmatrix}}_{U_k} }^{一阶向量方程组}$

得知矩阵 $A$ ，然后求 $A$ 的特征值及特征向量
$A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\\ \begin{vmatrix}A-\lambda I\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&-\lambda\end{vmatrix} = \lambda^2-\lambda-1=0\\ \underbrace{\overbrace{1+0= 1}^{迹}}_{A的对角和}； \lambda_1+\lambda_2=1\\ \underbrace{\lambda_1\lambda_2=-1}_{积}\\ \lambda^2-\lambda-1=0 \to\lambda=\frac{1\pm\sqrt[2]{5}}{2} \to\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac12 (1-\sqrt{5}) \\ x_1=\begin{bmatrix}\lambda_1\\1\end{bmatrix}; x_2=\begin{bmatrix}\lambda_2\\1\end{bmatrix}\\ U_0=\begin{bmatrix}F_1\\F_0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=c_1x_1+c_2x_2$
找出 $c_1,c_2$

对于动态增长的一阶方程组，初始向量是 $U_0=\begin{bmatrix}F_1\\F_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ ，关键在于确定 $A$ 的特征值及特征向量，特征值决定增长趋势，它发散到无穷还是收敛于0，接关找到一个展开式，把 $U_0$ 展开成特征向量的线性组合，且各个特征向量必须是独立的，然后套公式 $A^k=S\Lambda^kS^{-1}$

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