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三角之目：2014年理数浙江卷题18

三角之目：2014年理数浙江卷题18

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-20 21:28 被阅读0次

2014年理数浙江卷题18

在 \triangle ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 a \ne b, c=\sqrt{3}, \cos^2A-\cos^2B=\sqrt{3} \sin A \cos A - \sqrt{3} \sin B \cos B.

（Ⅰ）求角 C 的大小；

（Ⅱ）若 \sin A = \dfrac{4}{5}，求 \triangle ABC 的面积.

【解答问题Ⅰ】

\cos^2A-\cos^2B=\dfrac{1}{2}(\cos 2A - \cos 2B)

=- \sin (A+B) \sin (A-B)

\sin A \cos A - \sin B \cos B = \dfrac{1}{2}(\sin2A-\sin 2B)

=\cos(A+B)\sin(A-B)

代入已知条件得：- \sin (A+B) \sin (A-B)=\sqrt{3} \cos(A+B)\sin(A-B)

又∵ a\ne b, ∴ A \ne B, ∴ \sin(A-B) \ne 0,

∴ \tan(A+B)=-\sqrt{3}

∴ A+B=120°, C=60°.

【解答问题Ⅱ】

根据正弦定理可得 ：

2R=\dfrac{c}{\sin C}=2, R=1.

\sin A = \dfrac{4}{5} \Rightarrow |\cos A| = \dfrac{3}{5}

∵ \cos(A+B)=\cos 120°=-\dfrac{1}{2}, A \lt 120°, ∴ \cos A \gt -\dfrac{1}{2},

∴ \cos A = \dfrac{3}{5}.

\sin B=\sin(A+C)=\sin A \cos C + \cos A \sin C

=\dfrac{1}{10}(4+3\sqrt{3})

S_{\triangle ABC}=2R^2\sin A \sin B \sin C

=\dfrac{2}{25}(4\sqrt{3}+9).

【提炼与提高】

本题涉及以下考点：

  • 和差化积
  • 面积公式
  • 正弦定理
  • 二倍角公式

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