基本不等式 (2)

 

证明导论

        什么是证明？简单的说，一个证明就是建立式子真实性的有效论证。这里还要延申出两个概念：公理和定理（引用百度）

        公理 ：无法被否定的全称命题，也就是说虽然你不能通过证明来证出命题的有效性，但是你在该命题的论域内也找不出一条反例说明该命题是假的。

        定理：经过受某些限制的证明为真的命题。

不等式基本性质的证明过程

     定理    

        1. a > b ⇔ b < a (对称性)

证明过程:

        ∵ a > b    ∴ a - b > 0    ∵ - (a - b) < 0    ∴ -a + b<0  b < a

        2. a > b,b > c  a > c(传递性)

证明过程

        ∵ a > b,b > c    ∴ a - b > 0,b - c > 0    ∴ (a - b)+(b - c) > 0  a - c > 0    ∴ a > c

        3. a > b, ac > bc （可加减性）

证明过程        

        ∵ (a + c) - (b + c) = a - b > 0    ∴ a + c > b + c 

        4. a > b, c > d  a + c > b + d （同向可相加性）

证明过程

        ∵ a > b,c > d    ∴ a - b > 0,c - d > 0    ∴(a - b)+(c - d) > 0  a + c - b - d) >0    ∴ a + c > b + d

        5. a > b,c >0  ac > bc ；a > b,c < 0  ac < bc (可乘性)

证明过程

        当c > 0时 ∵  a + +...+ > b +  + ... +  = ac > bc    ∴ ac > bc

        当c < 0时 ∵ - (a +  + ... + ) < - (b +  + ... + ) = ac < bc    ∴ ac < bc

        6. a > b > 0,c > d > 0  ac > bd (同向相乘性)

证明过程

        ∵ a > b > 0,c > d > 0    ∴ac > bc,bc > bd    ∴ac > bd

        7. a > b,且 ab > 0   <  (倒数变相性)

证明过程

        ∵ a > b,且 ab >0    ∴  < 1   *  < 1 *     ∴  < 

       8. a > b > 0   > , >  , n  且n > 1

证明过程

        ∵ a *  * ... *  > b *  * ... *  =  >