1. 全排列与逆序数
2. 行列式
2.1 n阶行列式
- 奇排列:
为奇数
- 偶排列:
2.2 行列式的性质
1. 行列互换，其值不变
即
2. 行列式的任一行或列乘以某常数等于用
乘以整个行列式
3. 行列式的某一行或一列为0，其值为0
4. 如果行列式的某一行或一列的元素都是两个元素之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5. 行列式中某两行或列交换，其值异号。
6. 如果行列式的两行相同，其值为0
证明：根据性质5，
**7. 把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)上，其值不变。
2.3 余子式、代数余子式
代数余子式与行列式的关系：
3. 克莱姆法则
3.1 非齐次性线性方程组解的判定
1. 克莱姆法则
- 当系数行列式
时，有唯一解（克莱姆法则）。
- 当系数行列式
时，可能有解，可能无解，此时需要根据矩阵的秩判断。
2. 矩阵的秩
设系数矩阵
的秩为
，其增广矩阵
的秩为
，则
- 当
时，方程组有解；
- 当
时，方程有唯一解；
- 当
时，方程有无穷多个解；
- 当
时，方程组无解。
3.2 齐次线性方程组解的判定
齐次线性方程组一定有零解，可能有非零解：
- 当系数行列式
- 当系数行列式
时，存在非零解。
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