iOS世界里的贝塞尔曲线(一)：贝塞尔曲线基础

一、前言

本系列文章通过介绍 贝塞尔曲线 的基础知识，贝塞尔曲线在iOS中的应用以及一些高级技巧，循序渐进，试图让读者对iOS的中贝塞尔曲线知识有一个较系统的认识。

你可能在很多地方听说过贝塞尔曲线，但是贝塞尔曲线到底是什么，它有什么特性能让它有这么高的知名度，它到底有什么用呢？

二、贝塞尔曲线简介

1. 贝塞尔曲线 是什么

CorelDraw.png image.png

这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用：http://bezier.method.ac/

推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。

曲面.png 用于汽车设计

二、如何绘制贝塞尔曲线

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

1. 画线段AC，BC, 相交于C点.
2. 在线段AC取点D，BC上取点E使 AD:DC = CE:EB 。 如下图所示：

image.png

3.连接点D、E
4.在线段DE上取点F，使 AD:DC = CE:EB = DF:FE。 如下图：

image.png

那么我们就找到了贝塞尔曲线上的点F，这时让选取的点 D 在线段AB上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。如下图：

image.png

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！

bezierPath.gif

这样就画出了一条贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一个比较好的动态演示网站：http://myst729.github.io/bezier-curve

三、多次（阶）贝塞尔曲线

回过头来看这条贝塞尔曲线，

为了确定曲线上的一个点，需要在线段AC和BC上进行取点的操作，A、B、C三个点被称为控制点，因此我们称得到的曲线为二(控制点个数n-1)次贝塞尔曲线。

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一次贝塞尔曲线，二次贝塞尔曲线（3个控制点）、三次贝塞尔曲线（4个控制点）等等，以此类推。

二次贝塞尔曲线.gif 三次贝塞尔曲线.gif 四次贝塞尔曲线.gif

还有只有两个控制点的一次贝塞尔曲线，没错是一条线段，它是贝塞尔曲线的特殊情况：

四、附

综上可以看出使用贝塞尔曲线可以画出各式各样的圆形，也可以画出一条直线段。另外，贝塞尔曲线有以下两个重要的特性：

• 贝塞尔曲线总会通过第一个和最后一个控制点。曲线始点处的切线落在前两个控制点的连线上，曲线终点处的切线落在后两个控制点的连线上。

切线位置.png

• 贝塞尔曲线始终在控制点围成的凸多边形内。

多边形包含曲线。第一个和最后一个控制点重合会形成闭合的贝塞尔曲线.png

五、至此

至此我们了解了贝塞尔曲线的基本知识。