1.条件期望

1.1期望

离散随机变量期望 连续随机变量期望

对比平均值和期望

平时常见的多是平均数的概念，平均数和期望两者既有联系也有区别，也容易弄混。

• 平均数是统计学概念，主体是特征样本。
• 期望是概率论概念，主体是随机变量。
  平均数和期望可以通过大数定理联系起来：

掷骰子

用掷单个骰子的过程来展示大数定律，同时说明平均数（均值）和期望。随着投掷次数的增加，所有结果的均值趋于3.5（骰子点数的期望值）。不同时候做的这个实验会在投掷次数较小的时候（左部）会表现出不同的形状，当次数变得很大（右部）的时候，它们将会非常相似。

简而言之：

• 概率是频率随样本数趋于无穷的极限
• 期望是均值（平均数）随样本数趋于无穷的极限

1.2条件期望

条件期望

EX是对所有ω∈Ω，X(ω)取值全体的加权平均
E(X|Y=y)是局限在ω∈{ω:Y(ω)=y}时，X(ω)取值局部的加权平均
对于局部理解：按照Y的不同取值，整个样本空间Ω被划分为n个互不相容的事件（Ω=∑B(j)）。因此E(X|Y=y)是在某一个{B(j)，j∈N}上X(ω)的局部加权平均。
引用：左超-条件数学期望

对比EX、E(X|Y)、E(X|Y=y)

• EX是一个数值
• E(X|Y)是一个关于Y的函数，没有固定的y值，是一个随机变量
• E(X|Y=y)随着y的取值不同而不同, 但是只要y确定, 一定是个定值
  Before we observe Y,we don't know the value of E(X|Y=y) so it is a random varible which we denote E(X|Y).因此(X|Y)是随机变量Y的函数，事实上，它只是局部平均{E(X|Y=y_(j)),j∈N}的统一表达式。

引入E(X|Y)

显然E(X|Y=y₍₁₎),E(X|Y=y₍₂₎),....，依赖于Y=y_(j),即依赖于全局样本空间的划分。这样，从样本空间Ω及对ω∈Ω可以变化的观点看，有必要引进一个新的随机变量，记为E(X|Y)。对于这个随机变量E(X|Y)，当Y=y时它的取值为E(X|Y=y)，称随机变量E(X|Y)为随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望。
引用：左超-条件数学期望

1.3迭代期望定律

该定律研究的是E(E(X|Y))是什么

迭代期望定律

推导过程

• 连续随机变量

迭代期望定律证明

证明中的 E(Y|x) 即 E(Y|X=x)，即连续型期望公式中的 "x"
当给定条件X时， 条件期望 E(Y|X) 是一个随机变量，有自己的分布
当给定条件X=x时， 条件概率 E(Y|X=x) 是一个函数，可以记为h(x)，像普通函数那样进行计算即可
两者联系即X会有一定的概率取值为x，此时E(Y|X=x) =h(x)，按照 h 的运算法则即可
（一个随机变量的期望取决于分布，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，进一步说每个分布对应唯一的期望）

引用：谭升-条件期望

• 离散随机变量

迭代期望定律证明

引用：《计量经济学及Stata应用》 陈强

• Stata验证

  
  迭代期望定律

grilic.dta下载地址
如上所示，无条件期望等于条件期望的加权平均，权重为条件“X=x”的概率

1.4条件期望的性质

条件期望的性质

注：对于性质2，Y在条件里，因此g(Y)就失去随机性，故期望可以去掉
引用：siwingyang-条件期望与条件方差

2.条件方差

2.1方差

方差公式1
方差公式2
方差公式3
此处 u值

2.2条件方差

条件方差公式
条件方差公式
引用：siwingyang-条件期望与条件方差
引用：《计量经济学及Stata应用》 陈强

2.3方差分解

方差分解1
方差分解2

引用：siwingyang-条件期望与条件方差