周期数列

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-01-13 07:54 被阅读0次

周期数列
高中奥数 2022-01-14
高中奥数 2022-01-13
2019牛客第九场A题 (The power of Fibona
数学分析理论基础7：数列极限存在的条件
神奇数列---斐波那契数列
Vuex 参数列表
第2章第4节收敛准则
递推数列
数学分析理论基础5：数列极限概念

对一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ,如果存在正整数 $T$ 及 $n_{0}$ ,使得对任意 $n\geqslant n_{0}$ ,都有 $a_{n}=a_{n+T}$ ,那么称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个周期数列.进一步,若 $n_{0}=1$ ,则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个纯周期数列.这里 $T$ 称为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.

由周期数列的定义可知,如果 $T$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期,那么对任意 $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,数 $mT$ 也是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.利用这个性质结合数论中著名的Bezout定理可得下面的定理:

定理1

如果 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 都是周期数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的周期,那么 $\left(T_{1},T_{2}\right)$ (指 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 的最大公因数)也是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.

由此定理可知,如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个周期数列,那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 有最小正周期.这与周期函数不一定有最小正周期形成鲜明的对比.

对于一个整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 而言,它本身可能不是一个周期数列,但是对某些正整数 $m$ ,在模 $m$ 的意义下是一个周期数列,这就是模周期数列的概念.此时,存在 $T$ 、 $n_{0}\in \mathbb{N}^{*}$ ,使得对任意 $n\geqslant n_{0}$ ,都有 $a_{n+T}\equiv a_{n}\left(\bmod m\right)$ .

定理2

整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 如果是一个常系数递推数列,那么对任意 $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 都是模 $m$ 下的一个周期数列.

事实上,如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个常系数 $k$ 阶递推数列,考察下面的数组

$\left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\right),\left(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{k+1}\right),\cdots\qquad(1)$

由于在模 $m$ 的意义下,数组 $\left(x_{1},\cdots,x_{k}\right)$ 中每个 $x_{i}$ 只取 $0,1,2,\cdots ,m-1$ ,故(1)中的数组在模 $m$ 的意义下至多只有 $m^k$ 种不同的情形.所以,存在 $r$ 、 $t\in \mathbb{N}^{*}\left(r<t\right)$ ,使得

$\left(a_{r},a_{r+1},\cdots,a_{r+k}\right)\equiv\left(a_{t},a_{t+1},\cdots,a_{t+k}\right)\left(\bmod m\right).$

记 $T=t-r$ ,结合 $\left\{a_{n}\right\}$ 为常系数 $k$ 阶递推数列,可知对任意 $n\geqslant r$ ,都有 $a_{n+T}=a_{n}\left(\bmod m\right)$ .

因此,定理2成立.

周期数列
对一个数列,如果存在正整数及,使得对任意,都有,那么称是一个周期数列.进一步,若,则称是一个纯周期数列.这里称为的...
高中奥数 2022-01-14
2022-01-14-01 （来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚周期数列 P0...
高中奥数 2022-01-13
2022-01-13-01 （来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚周期数列 P0...
2019牛客第九场A题 (The power of Fibona
题意：给出斐波那契数列, 。给两个数n，m。求题解：考虑皮萨诺周期，注意到 , 并且。于是, 。781...
数学分析理论基础7：数列极限存在的条件
数列极限存在的条件单调数列定义：若数列的各项满足关系式,则称数列为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单...
神奇数列---斐波那契数列
斐波那契数列数列（Fibonacci sequeuece）,又称黄金分割数列、兔子数列，指的是这样一个数列：1...
Vuex 参数列表
Getters参数列表 Mutations参数列表 Actions参数列表
第2章第4节收敛准则
4、收敛数列收敛数列有界，有界数列不一定收敛问题（1）有界数列加上什么条件可得证收敛？（2）有界数列不加其...
递推数列
如果数列的第项由它的前面若干项所确定,那么该数列就是一个递推数列事实上,等差数列与等比数列都是递推数列,它们满足的...
数学分析理论基础5：数列极限概念
数列极限概念数列定义：若函数f的定义域为,则称或为数列数列f(n)可写作,简写作,其中为通项收敛数列及其极...

周期数列

相关文章

周期数列

高中奥数 2022-01-14

高中奥数 2022-01-13

2019牛客第九场A题 (The power of Fibona

数学分析理论基础7：数列极限存在的条件

神奇数列---斐波那契数列

Vuex 参数列表

第2章第4节收敛准则

递推数列

数学分析理论基础5：数列极限概念

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

奥数自学研究