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《思考的乐趣》读书笔记

《思考的乐趣》读书笔记

作者: 陀氏 | 来源:发表于2019-08-21 16:09 被阅读0次

2019-08-21 《[思考的乐趣]》by 顾森
豆瓣链接 评分三星

  1. 内容:有趣,清晰易懂。
  2. 难度:前半部分比普通的数学科普书还要浅,后半部分略有难度但意义不大,不成体系。
  3. 没有给我的知识带来太大帮助,也没有激发更多的数学热情。

第一章 生活中的数学

1.1 概率论教你说谎:

在A事件发生时,若刻意营造一个很日常,却但难以与A同时发生的B事件。这样一旦B事件已经发生,人们对A同时发生的期望就下降了,达到掩盖目的。
上述内容即贝叶斯定理,公式为P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B),其中P(A|B)与P(B|A), P(A)正相关,与P(B)负相关。

1.2 找东西背后的概率问题

1.3 设计调查问卷的艺术

对隐私问题,难以在问卷中得到正确结果。
若采访问题仅涉及是与否,可以设计一枚硬币让受访者投两次——若第一次是正面则填写实际结果,若是反面则以第二次的正反面结果作为填写内容(正面为是,反面为否)。
若最终收到m份问卷,则期望的有效\无效问卷各有m/2份。因此n份回答“是”的问卷中,有n-m/4份是真实有效的。

1.4 统计数据的陷阱

统计数据得到的结论不一定是有效的,可能存在其它干扰因素、因果倒置、随机性不足等:

  • 健康工人效应-因果倒置:铀矿工人寿命与普通人一致(也许是工人身体更健康使得他们平均寿命本应更高)、打太极者不长寿(可能是打太极的群体身体平均较病弱)、消防员越多火灾持续时间越长(是因为火灾大的时候消防员才比较多)
  • 冰淇凌与鲨鱼食人:是因为夏天到了,二者同步上升,本身两件事无因果关联;
  • 吸烟与癌症-怀疑:不一定是吸烟导致癌症,也可能是癌症者更容易染上烟瘾,或成瘾性与癌症是基因相关的。
  • Simpson悖论:各个局部表现更好,但总体表现较差(样本随机性不足)

关注统计结论时,需要慎重考虑

1.5 为什么人们往往不愿意承担风险

有两个选择:必定拿1000,或各半几率的拿到500与1500,二者的期望值是一样的,但人们往往愿意选择1000。
边际效用:指收益增多时,人们得到的幸福感递增。因此对于风险规避者,更愿意选择同期望时风险更小的那一项(幸福感更高)。
如果选择一高于x元,就愿意选择选项一,说明其愿意花费1000-x元来避免风险。

1.6 消费者承担的消费税真的吃亏了吗?

无论是消费者还是生产者承担税,最终都会体现在双方的定价上。生产者承担税时物价会对应提高,消费者承担税时物价会对应降低。哪一边承担得多,由这两条线的斜率决定。


image.png

不同的曲线,会产生不同的结果。可以思考,如果对消费者征奢侈品税,会产生什么效果?(需求量骤降,价格骤降,生产方承担大部分后果)

1.7 价格里的阴谋

  • 完全竞争市场:产品差异小,卖方无法定价,如米、菜;
  • 不完全竞争市场:垄断或有特征产品,卖方可定价,如铁路、衣服;

价格歧视对不同买家出不同价格:

  • 一级价格歧视:量身定价,如地摊讲价;
  • 二级价格歧视:不同套餐有不同定价方式,对有更高需求或更少需求的人进行价格歧视;为了有区分度,加贵了高需求的价格,降低了低需求的服务,在达到最大利益均衡;
  • 二级价格歧视举例:降低四等舱的服务质量、降低普通快递的速度故意囤在仓库中、IBM故意新增部件来降低打印机的打印速度、超市出售人为破坏的次品;
  • 三级价格歧视:直接提供相同服务下,不同的价格。在保证榨取高端用户的同时,保证了低端用户不流失;如火车学生票、同一商品在不同城市有不同定价、高速公路不同车型有不同收费标准;
  • 隐蔽的三级价格歧视:用打折券而不直接打折以保留低端消费;价格从高到低功能故意给出超出普通价格高,以榨取高端消费;游乐园两部分定价;

其它

  • 捆绑销售:各个用户对不同细分项喜好不同,捆绑销售可以帮助提高收益;
  • wiki链接pricing strategies中提到了几十种定价策略

1.8 公用品的悲剧

1.9 密码学与协议

本章主要是一些加密协议和场景,看着玩还行。

  • (m,n)门保证n人中只有m人在场才能解开密码,可把密码拆成C(n,m-1)份,每人持有C(n-1, m-1)份
  • 把密码编成m维的点,n个人各持有一个m-1维的面,交于这个m维点。因此,只有至少m个人凑在一起才能算出交点
  • 更简化版,将m项未知数的m项式的n个解分发给n个人,至少m人在场才能解开密码。
  • 匿名者广播消息:假定消息是一个0或1,k个人坐一圈,每人给下一个人展示硬件(正或反面),大家都报出左右手的硬币是相同面或不同面。匿名者要播报是0则按规则报出相同\不同,若是1则按相反的结果报出。最终报出”不同“的次数余2,得到的值就是匿名者想要传递的值。
  • 单向加密:在已知加密方式、密文的前提下,无法得知明文(但是可用来验证明文),如如md5, sha,缺陷是可能会导致多个明文指向同一个密文。

1.10 公平分割问题

n个人分蛋糕,如何做到公平分割?第一种公平是均衡分割,即每个人都认为自己得到的量不少于1/n:

  1. 你来分我来选,第i轮有蛋糕者把蛋糕切成i+1份给i+1号成员挑选。即第一个人切成2份让第二人来挑一块,二人再将蛋糕均分3份让第三人来自己这儿挑走一份……最终第n个人从所有人切割的n份中各挑一块。缺点是蛋糕被切得很碎。
  2. 最后削减人法:当前有n个没蛋糕的人坐成一排,则由第一个人切出1/n的一份蛋糕,按座位传递,经过每个人时若认为这个蛋糕多于1/n可以进行剪裁,大家都审核完蛋糕会分给最后一个剪裁蛋糕的人。

但每个人大于1/n,并不能解决”嫉妒“他人比自己得到的更多的问题,因此引出了免嫉妒分割,依然可以用Selfridge-Conway方法解决三人分割时的问题。

1.11 中文自动分词算法

第二部分 数学之美

本部分内容很少,介绍了一些数字巧合、猜想、重要常数,三角形垂心的一些定理和推论,以及小故事。总得来说对数学兴趣提升不大(个人感觉)

第三部分 几何的大厦

3.19 尺规作图问题

欧几里得的《几何原本》里都有这些概念,不如《古今数学思想》里对欧几里得的介绍清晰。

3.20 单规作图的力量

使用单个圆规一样能模拟出尺规作图的全部,同上可参见《古今数学思想》

3.21 锈规作图也疯狂

如果圆规生锈了,其长度为定长1,能够做到什么?
从给定的两点出发,能做到一切尺规以此两点作图的能力

3.22 火柴棒搭成的几何世界

如果只有单位长的火柴棒(可理解为有无限个长度为1的直尺),并且可以用火柴对AB线段为底搭出腰长为1的等腰三角形(某种意义上单位为1的圆规),就可以用火柴棒做到与尺规作图同等的效果
个人感觉不足为奇,这个功能已经足够强了。

3.23 折纸的学问

折纸可以达到一些尺规无法做到的功能。1991年藤田文章给出折纸的定义六条:

  1. 已知AB两点能折出连线(连线)
  2. 已知AB两点,能把A点折到B点上(中垂线)
  3. 已知ab两条线,可以把a线折到b线上(可理解为挪线或夹角平分线)
  4. 已知点A与线b,可以作过A点的折痕将线b折到自己身上(垂线)
  5. 已知点AB与线a,可通过过点B的折痕将点A折到线a上(点AB半径作圆与线a的交点)
  6. 已知点AB与线ab,可通过折痕将点A,B分别折到线a,b上(无法形容,应该是三次方程)
    由于操作6本质上使得折纸可以解决三次方程,因此折纸可以完成三等分角、倍立方体等尺规无法完成的难题。

在2001年羽鸟公士郎发现了其遗漏,并给出了第七条公理,由于变量数量的原因这七条已使得折纸的操作圆满了,实现了一套完整的公理系统:

  1. 已知点A与线a,b,可以将A折到a上,同时把b折到自身上

3.24 万能的连杆系统

能够构造出特定的曲线,体系仍待构建中。不是很理解,以后再了解

3.25 探索图像拼接

  • 两个正方形可以通过剪成五片,拼成一块大正方形。
  • 同理可推广至:n个正方形可通过裁剪拼成一个大正方体。
  • A图形能拼为B,B能拼为C,则A能拼为C。
  • 如果A能拼为B,B也能拼为A。

有了以上基础,可以继续尝试:

  • 任意矩形可拼为正方形
  • 任意平行四边形可拼为正方形
  • 任意三角形可拼为平行四边形
  • 任意多边形都能剪为多个三角形,因此得到正方形
  • 任意多边形->正方形->同等面积的其它多边形

第四部分 精妙的证明

一些漂亮的证明

第五部分 思维的尺度

一些脑洞,包括

  • 不同级别的无穷大,与可定义数
  • 无以言表的大数:古德斯坦数
  • 超级幂、古德斯坦记号G、高德纳箭头记号、阿克曼函数
  • 四维世界

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