函数与导数：2016年理数全国卷C题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-06-01 20:46 被阅读0次

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2016年理数全国卷C题21

设函数 $f(x)= \alpha \cos 2x + ( \alpha -1 )(\cos x +1)$ ，其中 $\alpha \gt 0$ ，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $A$ .

（I）求 $f'(x)$ ;

（Ⅱ）求 $A$ ;

（Ⅲ）证明 $|f'(x)| \leqslant 2A$ .

【解答问题I】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$ .

$f'(x)= 2 \alpha \sin 2x + ( \alpha -1 )\sin x$

【解答问题Ⅱ】

$\cos 2x=2\cos^2x-1$

$f(x)=2\alpha \cdot \cos^2x + (\alpha-1)\cos x -1$

令 $t=\cos x$ , 则 $-1 \leqslant t \leqslant 1$ .

记 $g(t)=2 \alpha t^2 +(\alpha-1)t -1$ ,

则 $g(-1)=\alpha$ ,

$g(1)=3\alpha-2$ ,

令 $t_0=-\dfrac{\alpha-1}{2 \cdot 2 \alpha}=\dfrac{1}{4\alpha}-\dfrac{1}{4}$

∵ $\alpha \gt 0$ , ∴ $g(x)$ 的图像开口向上， $t=t_0$ 是其对称轴， $g(t_0)=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}(\alpha+\dfrac{1}{\alpha})$

(1) 若 $0\lt \alpha\leqslant \dfrac{1}{5}$ , 则 $t_0\gt 1$

$|g(1)|=2 -3\alpha \gt |g(-1)|$

$A=2-3\alpha$

(2) 若 $\dfrac{1}{5} \lt \alpha \lt 1$ , 则 $0 \lt t_0 \lt 1$ , $g(-1) \gt g(1) \gt g(t_0)$

$|g(t_0)| = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}) \gt 1 \gt \alpha$

$A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}(\alpha+\dfrac{1}{\alpha})$ .

(3) 若 $\alpha \geqslant 1$ , 则 $-1 \lt t_0 \lt 0$ , $g(t_0) \lt g(-1) \lt g(1)$

$|g(1)| = 3\alpha-2$

$|g(t_0)| = \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\alpha \lt 3\alpha-2$

$A=\left\{ \begin{array}\\ 2-3\alpha, \quad 0\lt \alpha\leqslant \dfrac{1}{5},\\ \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}), \dfrac{1}{5} \lt \alpha \lt 1,\\ 3\alpha-2, \quad \alpha \geqslant 1. \end{array} \right.$

【解答问题Ⅲ】

$f'(x)= 2 \alpha \sin 2x + ( \alpha -1 )\sin x$

$|f'(x)|= |2 \alpha \sin 2x + ( \alpha -1 )\sin x| \leqslant |2 \alpha \sin 2x| + |( \alpha -1 )\sin x|$

又∵ $\sin2x \in [-1,1], \sin x \in [-1,1]$ ,

∴ $|f'(x)| \leqslant |2\alpha| + | \alpha-1 |$

(1) 若 $0 \lt \alpha \leqslant \dfrac{1}{5}$ , $A=2-3\alpha$ ,

$|f'(x)| = \alpha+1$ ,

$f'(x) \leqslant 2A$ ;

(2) 若 $\dfrac{1}{5} \lt \alpha \lt 1$ , $2A=\dfrac{6}{4}+\dfrac{1}{4}(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}) \geqslant 2$ ,

$|f'(x)| \leqslant \alpha+1 \leqslant 2$

∴ $|f'(x)| \leqslant 2A$ ;

(3) 若 $\alpha \geqslant 1$ , $2A=6\alpha-4$ ,

$f'(x) \leqslant 3\alpha-1 \leqslant 2A$ .

综上所述，对于 $\alpha \gt 0$ 总有： $|f'(x)| \leqslant 2A$ . 证明完毕.

【提炼与提高】

函数大题，多数会围绕导数与不等式命题；本题围绕三角形和二次函数命题，算得是一个特例。

命题人有可能是以这种方式提醒大家：高考命题差非一成不变；决胜高考，不应当执着于某些常见的 “题型”，掌握基本方式并熟练应用，才是决胜之道。

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