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不等式客观题：2022年新高考数学题9

不等式客观题：2022年新高考数学题9

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-06-19 22:26 被阅读0次

2022年新高考数学题9

已知 x \gt 0,\; y\gt 0，且 x+2y=2，则

A.\;xy 的最小值是 1

B.\;x^2+y^2 的最小值是 \dfrac{4}{5}

C.\;2^x+4^y 的最小值是 4

D.\;\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} 的最小值是 5

【解析】

x+2y \geqslant 2 \sqrt{x \cdot 2y}

\Rightarrow\; \sqrt{xy} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}

若 y=2^{-9}, 则 x=2(1-y) \lt 2

xy \lt 2^{-8} \lt 1

所以，选项A错误；

2^x+4^y=2^x+2^{2y} \geqslant 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{2y}}

2^x \cdot 2^{2y} = 2^{x+2y} = 2^2

\Rightarrow\; 2^x+4^y \geqslant 3

所以，选项C正确；

\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \geqslant \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}

\sqrt{xy} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{xy}} \geqslant \sqrt{2}

\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \geqslant 4

所以，选项D正确；

选项B的正确性可以用几何法判断；

在平面直角坐标系中，x+2y=2 代表一条直线，该直线与坐标轴的交点为：A(2,0), B(0,1).

|AB| = \sqrt{5}

S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 2 =1

记原点 O 与 AB 的距离为 d, 则 d= \dfrac{2 S_{\triangle OAB}} {|AB|} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}

d^2=\dfrac{4}{5} \Rightarrow\; x^2+y^2 \geqslant \dfrac{4}{5}

所以，选项 B 正确；

综上所述，正确选项为：BD.

【提炼与提高】

建立平面 直角坐标系之后，既可以用代数方法解决几何问题，也可以用几何方法解决代数问题。

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