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第三章 极限导论

第三章 极限导论

作者: 熊文鑫 | 来源:发表于2019-12-03 13:15 被阅读0次

Time: 2019-11-12
Title:第三章 极限导论

重点知识：

1.对于极限是什么的直观概念
2.左、右与双侧极限，及在\infty和-\infty处的极限；
3.何时极限不存在;
4.三明治定理(也称作"夹逼定理")

3.1 极限：基本思想

\mathop{lim}_\limits{x\to 2}f(x)=1

变量 x 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量.

3.2 左极限和右极限

\mathop{lim}_\limits{x\to 3^-}f(x)=1 \ \ \ 及 \mathop{lim}_\limits{x\to 3^+}f(x)=-2

双侧极限存在:当左极限等于右极限时，双侧极限存在且等于左极限和右极限。

3.3 何时不存在极限

如果左极限和右极限不相等时，
\mathop{lim}_\limits{x\to 3}f(x) 不存在
或使用缩写 "DNE" 表示 "不存在".

当左极限和右极限都是无穷大时，如果符号相同也是有极限的。
\mathop{lim}_\limits{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty
垂直渐近线的定义：
"f 在 x = a 处有一条垂直渐近线" 说的是, \mathop{lim}_\limits{x\to a^+}f(x)和 \mathop{lim}_\limits{x\to a^-}f(x)其中至少有一个极限是\infty 或-\infty .

3.4 在\infty和-\infty处的极限

极限与水平渐近线：
"f 在 y = L 处有一条右侧水平渐近线" 意味着, \mathop{lim}_\limits{x\to \infty}f(x)=L.

"f 在 y = M 处有一条左侧水平渐近线" 意味着, \mathop{lim}_\limits{x\to -\infty}f(x)=M.

定义大的数和小的数
1.如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的;

2.如果一个数非常接近于 0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的

“在-\infty附近" 来强调我们所指的是大的负的数

3.5 关于渐近线的两个常见误解

1.渐近线不同

2.渐近线也可相交

3.6 三明治定理

又称夹逼定理

如果对于所有在 a附近的 x 都有 g(x)\le f(x)\le h(x), 且\mathop{lim}\limits_{x \to a}g(x)=\mathop{lim}\limits_{x \to a}h(x)=L,则\mathop{lim}\limits_{x \to a}f(x)=L.

3.7 极限的基本类型小结

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