八章 行列式

定义：由四个数排成二行二列的数表

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所确定的二阶行列式记作 image.png
二阶行列式的计算——对角线法则
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对与二元线性方程组：

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记作 image.png
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三阶行列式

定义：

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三阶行列式的计算：
（1）杀路法 image.png
（2）对角线法则
对角线法则之适用于二阶与三阶行列式。
三阶行列式解三元线性方程组：
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则三元线性方程组的解为：
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排列组合

排列定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用p(n,r)表示。

排列计算公式： image.png

组合定义：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个取r个的无重组合。组合的个数用c(n,r)表示。

组合计算公式： image.png

多阶行列式

定义：设有n^2个数，排成n行n列的数表。

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性质:
1:D=D^T
行列式性质对行成立的对列也成立。
2：互换行列式的两行则行列式变号。
若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零
3：用数k称行列式某一行中所有元素，等于用数k乘以此行列式。
某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。
4：若行列式中有两行元素对应称比例，则行列式为零。
5：若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成俩个行列式的和。
*若行列式某行的元素都是m个元素的和，则行列式可写成m个行列式的和。
6：行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。

代数余子式：

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定理
n阶行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
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齐次与非齐次线性方程组

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若常数项b1,b2,.....bn不全部为零，则称此方程组为非齐次线性方程组。
若常数项b1,b2,.....bn全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。

克莱姆法则

**定理：如果方程组：

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其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即： image.png
定理如果线性方程组（1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式比为零。
齐次线性方程组的相关定理：
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定理如果齐次线性方程组的系数行列式D!=0则齐次线性方程组没有非零解。
定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式比为零。