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两角相等~抛物线：2018年文数全国卷A题20

两角相等~抛物线：2018年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-20 11:16 被阅读0次

两角相等：2018年文数全国卷A题20

20.（12分）设抛物线C:y^2=2x ，点 A(2,0), B(-2,0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点.

（I）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程;

（Ⅱ）证明∶ \angle ABM = \angle ABN.

【解答问题Ⅱ】

直线 l 与 x 轴垂直并且经过点 A(2,0)，其方程为：x=2

MN 两点满足如下方程：

\left\{ \begin{array} \\ y^2=2x \\ x=2 \\ \end{array} \right.

解得：y=\pm 2, 点 M 的坐标为：(2,-2),(2,2)

直线 BM 的方程为：y=\dfrac{1}{2}x+1 和 y=-\dfrac{1}{2}x-1

【解答问题Ⅱ】

过点 A(2,0) 的直线方程可表示为：x=ty+2

M,N 两点满足如下方程组：

\left\{ \begin{array} \\ y^2=2x \\ x=ty+2 \\ \end{array} \right.

消元后得：y^2-2ty-4=0

y_1+y_2=2t,\;y_1y_2=-4

k_{_{BM}}+k_{_{BN}}=\dfrac{y_1}{x_1+2} +\dfrac{y_2}{x_2+2}

=\dfrac{2ty_1 y_2 +t(y_1+y_2)}{(x_1+2)(x_2+2)} =0

所以 k_{_{BM}} = -k_{_{BN}}, \angle ABM = \angle ABN. 证明完毕.

【提炼与提高】

本题与「2015年理数全国卷A题20」高度相似。形象地说，这两题的区别，就是“换了个壳”。

其实，高考命题就是基于有限数量的对象和方法来回倒腾。因为原材料有限，最终的结果出现重复也就不足为奇。因此，把最近十年的高考真题玩熟，是准备高考的有效策略。2015年和2018年的这两个“换壳” 考题，可以提振我们对于这一基本策略的信心。

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