一句话总结逻辑回归：
逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大似然函数的方法，运用梯度下降来求解参数，来达到将数据二分类的目的。
逻辑回归是一个非线性模型，但是是其背后是以线性回归为理论支撑的.
为什么要使用sigmoid函数作为假设？
因为线性回归模型的预测值为实数，而样本的类标记为（0,1），我们需要将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来，也就是找到广义线性模型中的联系函数。如果选择单位阶跃函数的话，它是不连续的不可微。而如果选择sigmoid函数，它是连续的，而且能够将z转化为一个接近0或1的值。
逻辑回归的损失函数
使用梯度下降法，就要求出梯度，对每一个向量中每一个参数，都求出对应的导数：
最终结果：
在求得对一个参数的导数之后，则可以对所有特征维度上对损失函数进行求导，得到向量化后的结果如下：
逻辑回归代码实现
import numpy as np
# 因为逻辑回归是分类问题，因此需要对评价指标进行更改
from sklearn.metrics import accuracy_score
class LogisticRegression:
def __init__(self):
"""初始化Logistic Regression模型"""
self.coef_ = None
self.intercept_ = None
self._theta = None
"""
定义sigmoid方法
参数：线性模型t
输出：sigmoid表达式
"""
def _sigmoid(self, t):
return 1. / (1. + np.exp(-t))
"""
fit方法，内部使用梯度下降法训练Logistic Regression模型
参数：训练数据集X_train, y_train, 学习率, 迭代次数
输出：训练好的模型
"""
def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
"the size of X_train must be equal to the size of y_train"
"""
定义逻辑回归的损失函数
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：损失函数表达式
"""
def J(theta, X_b, y):
# 定义逻辑回归的模型：y_hat
y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
try:
# 返回损失函数的表达式
return - np.sum(y*np.log(y_hat) + (1-y)*np.log(1-y_hat)) / len(y)
except:
return float('inf')
"""
损失函数的导数计算
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：计算的表达式
"""
def dJ(theta, X_b, y):
return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(y)
"""
梯度下降的过程
"""
def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
theta = initial_theta
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = dJ(theta, X_b, y)
last_theta = theta
theta = theta - eta * gradient
if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return theta
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
# 梯度下降的结果求出参数heta
self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters)
# 第一个参数为截距
self.intercept_ = self._theta[0]
# 其他参数为各特征的系数
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
"""
逻辑回归是根据概率进行分类的，因此先预测概率
参数：输入空间X_predict
输出：结果概率向量
"""
def predict_proba(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果概率向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
# 将梯度下降得到的参数theta带入逻辑回归的表达式中
return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))
"""
使用X_predict的结果概率向量，将其转换为分类
参数：输入空间X_predict
输出：分类结果
"""
def predict(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
# 得到概率
proba = self.predict_proba(X_predict)
# 判断概率是否大于0.5，然后将布尔表达式得到的向量，强转为int类型，即为0-1向量
return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')
def score(self, X_test, y_test):
"""根据测试数据集 X_test 和 y_test 确定当前模型的准确度"""
y_predict = self.predict(X_test)
return accuracy_score(y_test, y_predict)
def __repr__(self):
return "LogisticRegression()"
调用：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
X = X[y<2,:2]
y = y[y<2]
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1], color="red")
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1], color="blue")
plt.show()
from sklearn.model_selection import train_test_split
# from myAlgorithm.LogisticRegression import LogisticRegression
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train, y_train)
# 查看训练数据集分类准确度
log_reg.score(X_test, y_test)
"""
输出：1.0
"""
# 查看逻辑回归得到的概率
log_reg.predict_proba(X_test)
"""
输出：
array([ 0.92972035, 0.98664939, 0.14852024, 0.17601199, 0.0369836 ,
0.0186637 , 0.04936918, 0.99669244, 0.97993941, 0.74524655,
0.04473194, 0.00339285, 0.26131273, 0.0369836 , 0.84192923,
0.79892262, 0.82890209, 0.32358166, 0.06535323, 0.20735334])
"""
# 得到逻辑回归分类结果
log_reg.predict(X_test)
"""
输出：
array([1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0])
"""
sklearn中的LogisticRegression
返回sklearn的逻辑回归中的参数及得分
可视化决策边界
多项式项逻辑回归
决策边界
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