线性代数学习总结-向量

作者: ZerLon51 | 来源:发表于2019-12-28 15:46 被阅读0次

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起源

线性代数的研究源自对于二维三维空间下向量的研究。

向量

这里只探究在数学中的表示，每个维度用一个分量表示，用列表示如下：

$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{bmatrix}$

乘法于加法是线性组合最重要的两个概念

向量乘因子 $cV = \begin{bmatrix}cx_1\\cx_2\\...\\cx_n\end{bmatrix}$
等于乘以各分量

向量相加 $V + W = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\...\\v_n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}w_1\\w_2\\...\\w_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}v_1 + w_1\\v_2 + w_2\\...\\v_n + w_n\end{bmatrix}$ 等于各分量相加

将这两个操作组合在一起就是线性组合

$cV + dW = c\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\...\\v_n\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\...\\w_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cv_1 + dw_1\\cv_2 + dw_2\\...\\cv_n + dw_n\end{bmatrix}$

对于二维空间而言，如果v和w不共线，则将填充整个二维空间。
三维空间的话，则未必了。如下所示

p1
可能共面、共线，其线性组合会产生可能填充直线、平面或者整个空间的效果。

点乘 $v \cdot\ w = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\...\\v_n\end{bmatrix} \cdot\ \begin{bmatrix}w_1\\w_2\\...\\w_n\end{bmatrix} = v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_nw_n = \sum_{k=1}^{n}v_kw_k$
即各元素相乘相加之和

长度 $length = \left||v\right||=\sqrt{v\cdot v}$ 即各元素点乘开平方

两个不同向量的点乘等于二者夹角的cos

$\frac{v\cdot w}{\left||v\right||\left||w\right||}=cos\theta$

证明嘛如下

矩阵

将线性组合 $cu + dw + ev$ 改写为 $\begin{bmatrix}u&w&v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\\e\end{bmatrix}$ 的形式，向量 $u\quad v\quad w$ 则变为矩阵 $A$ 的列。系数 $c\quad d\quad e$ 变为向量 $x$ 的元素。

$Ax = b$

$A$ 就是矩阵了。

矩阵可逆

首先明确下什么是可逆矩阵，很简单，如下

对于 $\qquad Ax = b\qquad 有 \qquad Sb=x$

则 $A$ 是可逆矩阵。也就是对于 $Ax$ 的线性组合而言，存在另外一个矩阵 $S$ 的线性组合 $Sb$ ，反向求出 $x$ 。

那么什么条件下矩阵是可逆的呢？

牵扯到前面的空间的概念，从三维空间来讲，如果各列之间Independent，则矩阵是可逆的，反之则不可逆。矩阵的两列或者N列存在组合关系，例如

$col_i + col_j = col_w$

说明 $col_w$ 是无用的列， $Ax=0$ 存在很多解。反之，只有唯一解。

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