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给斯坦福统计学习CS229T的preliminary：逐点收敛和

给斯坦福统计学习CS229T的preliminary：逐点收敛和

作者: 顾劝劝 | 来源:发表于2020-12-06 20:03 被阅读0次

逐点收敛 pointwise convergence

对于一族函数 f_n: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}，如果\forall \epsilon>0,\forall x\in \mathcal{X},\exists N\in Z^+,s.t. \forall n\geq N, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon，则称f_n\rightarrow f pointwisely。

一致收敛 uniform convergence

对于一族函数f_n: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}，如果\forall \epsilon>0,\exists N\in Z^+,s.t. \forall x\in \mathcal{X}, \forall n\geq N, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon，则称f_n\rightarrow f uniformly。

差别

逐点收敛时N和x,\epsilon都有关。一致收敛时，N要对任意的x都成立，只和\epsilon有关。如果f_n是连续函数，f也得是连续的。一个经典的反例是f_n(x) = x^n, x\in[0,1]。当n\rightarrow\infty，极限是个分段函数：
f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x\in [0,1) \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right. \tag{1}
这一族函数只有逐点收敛，没有一致收敛。

逐点收敛的证明

我们来证明f_n(x)=x^n收敛到(1)中的f(x)。要点是找到一个满足收敛不等式的大N。
0和1都很好证明，两者之差是0，肯定小于任意\epsilon。
那么就来看当x\in (0,1)，f_n(x)-f(x)|=|x^n-0|=x^n<\epsilon。
那么只要N > \ln(\epsilon)/ \ln(x)，就能满足逐点收敛的条件了。

一致收敛的证明

我们现在来关注这样一个函数：f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}，证明它们一致收敛到f(x) = 0。要点是找到\arg\max_x|f_n(x)-f(x)|，然后找到这个x对应的大N，只要有N满足这个x的收敛条件，那么其他差距比它小的位置肯定也满足了收敛条件。
通过求导，我们发现x在\pm \sqrt{\dfrac{1}{n}}上取到极值，通过找其他位置的导数判断符号，我们发现-\sqrt{\dfrac{1}{n}}上取到f_n(x)-0的最小值，\sqrt{\frac{1}{n}}有f_n(x)-0的最大值。这两个点到0的差距绝对值一样都是\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{2}。满足\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{2}<\epsilon的大N需要>\dfrac{1}{4\epsilon^2}。这样的大N对于其他位置的x也满足收敛条件，因此f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}一致收敛于0。

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