14|四种常见二分查找变形题

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变体一：查找第一个值等于给定值的元素
上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？
比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。
如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。
尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改
造一下上一节的代码。
100个人写二分查找就会有100种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
 int low = 0;
 int high = n - 1;
 while (low <= high) {
 int mid = low + ((high - low) >> 1);
 if (a[mid] >= value) {
 high = mid - 1;
 } else {
 low = mid + 1;
 }
 }
 if (low < n && a[low]==value) return low;
 else return -1;
}

看完这个实现之后，你是不是觉得很不好理解？如果你只是死记硬背这个写法，我敢保证，过不了几天，你就会全都忘光，再让你写，90%的可能会写错。所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解呢？

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
 int low = 0;
 int high = n - 1;
 while (low <= high) {
 int mid = low + ((high - low) >> 1);
 if (a[mid] > value) {
 high = mid - 1;
 } else if (a[mid] < value) {
 low = mid + 1;
 } else {
 if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
 else high = mid - 1;
 }
 }
 return -1;
}

我来稍微解释一下这段代码。a[mid]跟要查找的value的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于a[mid]>value的情况，我们需要更新high= mid-1；对于a[mid]<value的情况，我们需要更新low=mid+1。这两点都很
好理解。那当a[mid]=value的时候应该如何处理呢？
如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这
个a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。
我们重点看第11行代码。如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的第一个值等于给
定值的元素。
如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid-1]也等于value，那说明此时的a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。
对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解？实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没Bug，其实更重
要，所以我觉得第二种写法更好。
变体二：查找最后一个值等于给定值的元素
前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢？
如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一下，然后跟我写的对比一下。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
 int low = 0;
 int high = n - 1;
 while (low <= high) {
 int mid = low + ((high - low) >> 1);
 if (a[mid] > value) {
 high = mid - 1;
 } else if (a[mid] < value) {
 low = mid + 1;
 } else {
 if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
 else low = mid + 1;
 }
 }
 return -1;
}

我们还是重点看第11行代码。如果a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果a[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元
素。
如果我们经过检查之后，发现a[mid]后面的一个元素a[mid+1]也等于value，那说明当前的这个a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。
变体三：查找第一个大于等于给定值的元素
现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6。
实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
 int low = 0;
 int high = n - 1;
 while (low <= high) {
 int mid = low + ((high - low) >> 1);
 if (a[mid] >= value) {
 if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
 else high = mid - 1;
 } else {
 low = mid + 1;
 }
 }
 return -1;
}

如果a[mid]小于要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新low=mid+1。
对于a[mid]大于等于给定值value的情况，我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value，那a[mid]就是我们要找的
元素。这段逻辑对应的代码是第7行。
如果a[mid-1]也大于等于要查找的值value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将high更新为mid-1。
变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素
现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于7的元素就是6。是不是有点类似上面那一种？实际
上，实现思路也是一样的。
有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
 int low = 0;
 int high = n - 1;
 while (low <= high) {
 int mid = low + ((high - low) >> 1);
 if (a[mid] > value) {
 high = mid - 1;
 } else {
 if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
 else low = mid + 1;
 }
 }
 return -1;
}