《数理哲学导论》读书笔记

摘要：在《数理哲学导论》中，罗素将数理逻辑的主要结果以一种既不需要数学知识，也不需要运用数学符号能力的形式陈述出来。他讨论了自然数、数、归纳法、序、关系、有理数、实数、复数、无穷基数、极限、连续性、命题函项、类、摹状词等概念。本书清楚明确地陈述了罗素的数理哲学观点，即人们通常所称的逻辑主义。

罗素

一、自然数串

· 皮亚诺证明：除加上一些纯逻辑的概念和命题外，整个自然数的理论能够从三个基本概念和五个基本命题演绎得出。这三个概念和五个命题因而似乎可以代替全部传统的纯粹数学，假使它们能由其他的概念和命题来定义或证明，全部纯粹数学也能。

· 皮亚诺算术中的三个基本概念是：0，数，后继。他以“后继”指在自然次序中一数的次一数。至于他所谓“数”乃是指所有自然数所构成的类。

· 皮亚诺所肯定的五个基本命题是：（1）0是一个数。（2）任何数的后继是一个数。（3）没有两个数有相同的后继。（4）0不是任何数的后继。（5）任何性质，如果0有此性质；又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质；那么所有的数都有此性质。

· 皮亚诺的三个基本概念能容许无数不同的解释，所有这些解释都能满足那五个基本命题。给定任一数串，只要它是无尽的，不包含重复，有一个首项，并且没有一项不能从首项通过有穷的步骤达到，那么我们就有一个项的集合适合皮亚诺的公理，它叫作一个序级。

二、数的定义

· 列举的定义称为“外延”定义，提出一个特性的定义称为“内涵”定义。这两种定义中，在逻辑上是内涵定义比较基本。外延定义对于我们关于一个类的知识不是必要的。

· 所谓“一对一”的关系，就是：如果x 对y 有所说的关系，则没有其他的项x'对y有这种关系；并且x对于y以外的任何项y'也没有同样的关系。只满足两个条件中的第一个的关系称为“一对多”关系，只满足第二个的关系称为“多对一”关系。

· 所有与别的东西有某给定关系的各项所形成的类叫做这关系的前域。又一个关系的后域就是它的逆关系的前域。所谓一类“相似”于另一类，就是在它们之间有一个一对一的关系，一类是这关系的前域，另一类是它的后域。

· 每一类都相似于它自己，（2）如果一类α相似于一类β，那么β相似于α，（3）假使α相似于β，而且β相似于γ，那么α相似于γ。一个关系当它具有这些性质中的第一种时，称为是自反的，具有第二种性质时称为对称的，具有第三种时称为传递的。

· 一个类的数是所有与之相似的类的类。所谓数就是某一个类的数。

三、有穷与数学归纳法

· 假使无论何时一数n有一性质，它的后继n＋1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”。如n是一类中的一分子，n＋1也是，则称这类是“遗传的”。

· 如果0有一个性质，并且这性质是遗传的，则称此性质为“归纳的”。一个类如果是遗传的，并且0是它的一分子，则称这类是“归纳的”。

· 给定一自然数，有许多遗传类包含这已知数，这些类所有的分子我们就定义为对于“直接前趋”关系（“后继”关系的逆关系）而言的，这已知数的“后代”。

· “自然数”就是对于“直接前趋”这一关系而言的0的“后代”。0是以空类为唯一分子的类。类α所有项数的后继就是α任何不属于α的项x一起所构成的类的项数。

· 假定宇宙中个体的数目不是有穷的，那么我们已经做到的不仅是以逻辑的基本概念定义出皮亚诺的三个基本概念，并且还了解如何用逻辑的基本概念与命题来证明他的五个基本命题。因此，所有纯粹数学，既然它能从自然数的理论演绎出来，就不过是逻辑的延伸。

· 假使一项x有一性质；又如x对y有R关系，则y也有此性质；那么这性质称为是“R-遗传的”。给定一个类，如果定义它的性质是R-遗传的，那么这类也是R-遗传的。

· 假使有一项x与其他的项有R关系，或者其他的项与x有R关系，又有一项y具有x所有的每一种R-遗传的性质，则称x为y的“R-祖先”。所谓x的“R-后代”就是以x为其R-祖先的各项。

· 我们将用“归纳数”这一名词指我们迄今以“自然数”表示的同一类。

四、序的定义

· 几何学中维的概念就是由序的概念发展而来。作为所有高等数学的基础的极限概念也是一个序列的概念。

· 没有一个项的集合恰好只有一个次序而排斥其他的次序。

· 序的关系应该具有以下三种性质：（1）非对称的：如果x在y之先，或说x先于y；则y必不先于x。（2）传递的：如果x先于y，并且y先于z，x必先于z。（3）连通的：给定为一关系所排列的一类中的任何二项，必是一个在先，另一个在后。

· 无论何处有一种序存在，总可能发现一种关系，具有以上三种性质，产生以上的序。

· 一关系称为是示异的，如果没有一项对其自身有这关系。当x与z两项之间有一中间项y，使得x与y之间及y与z之间有同一关系时，则x与z之间的关系是此关系的平方。一关系称为包含或者蕴涵于另一关系中，如果不论何时另一关系成立，则此关系也成立。

· 一关系如果是传递的、示异的和连通的；或者说，如果是非对称的、传递的和连通的，则此关系称作是序列的。一个序列即是一个序列的关系。

· P要成为一个序列关系，必须具有以下三种特性：（1）我们绝不能有xPx，亦即，绝没有一项先于它自己。（2）P^2 必须蕴涵P，亦即，如果x先于y，y先于z，x必先于z。（3）如果x和y是P的关系域中不同的二项，我们将有xPy或yPx，亦即二项中之一必须先于另一项。

· 所谓一个归纳数m小于另一数n，即是n具有m的后继所具有的一切遗传的性质。这样定义的“小于”关系是非对称的、传递的和连通的，并且以归纳数作为其关系域。

· 设有一项x与之有R关系，任何项，如有此项所有的各种R-遗传性质则这些项所构成的类即称为x对于R而言的真后代。如果y属于对于R而言的x的真后代，那么即称x是对于R而言的y的“真祖先”。

· 要产生一个开次序，我们需要一个“在……之间”的三项关系。要产生一个循环次序，我们需要一个可以称做“两两离间”的四项关系。

五、关系的种类

· 不论R为何种关系，借助广义归纳法从R所导出的祖先关系即是传递的；并且如R是多对一的关系，只要限制于一给定项的后代，这祖先关系即是连通的。

· 非对称的关系是示异的，然而示异的关系不一定非对称。

· 如果我们希望尽可能地去掉关系命题而替之以主谓词式命题，只要我们限制于对称的关系，这一点是可以做到的：传递而非示异的关系可以看作是断定一个共同的谓词，至于传递且示异的关系是断定不相容的谓词。

· “另外一种非常有用的关系是一对多的关系，这种关系就是对于一给定的项而言，至多只能有一项与之有此关系。从形式上说我们可以通过一种处理将所有的关系替以一对多的关系。

· “真祖先”是一个一对多的关系（一对多的关系也包含一对一的关系），因为每一个数决定一个独特的数类构成它的真祖先。

· 函数概念不必限于数，或限于数学家使我们习知的用途；它可以推广到所有一对多的关系的情形，这种意义上的函项是摹状函项。

· 设R为一对多的关系，则对于这函项，一切可能的自变数的范围或变程即是R的后域，值的范围或变程即是前域。

· 所谓R与S二关系的“关系积”仍是一关系：如在x与z之间有一中间项y，使得x与y有R关系，y与z有S关系，则称x与z有此关系；至于一对多的关系即是一关系与其逆关系的关系积包含等同关系。

· 在一对一关系的情形下不仅一关系与其逆关系的关系积包含等同关系，即其逆关系与关系本身的关系积也包含等同关系。

· 我们称关系由之出发的项为关系，称关系所及的项为被关系者。一给定关系的一切可能的关系者所形成的类是此关系的前域，一切可能的被关系者所形成的类是它的后域。

· 一对一关系的前域与后域常会相交。在各种不同的排列中前域与后域是等同的。

六、关系的相似

· 只有当一个关系是“齐性的”时候，也就是，只有当一个关系的前域和后域属于相同的逻辑类型时，一个关系才有一个“关系域”。

· 我们可以定义两个关系P和Q“相似”如下：有一个一对一的关系S，它的前域是P的关系域，后域是Q的关系域，并且若一项对另一项有P关系，则此项的对应者与另一项的对应者有Q关系，反之，若一项对另一项有Q关系，则此项的对应者与另一项的对应者有P关系。

· 如果有P，Q二关系及一个一对一的关系S，又S的后域即Q的关系域，并且P是S和Q以及S的逆关系三者的关系积，则称S为P与Q的一个“关联者”或者一个“序的关联者”。如P与Q二关系至少有一个关联者，则称关系P与Q“相似”或有“相仿关系”。

· 当两关系相似时，凡不与它们的关系域中实际各项有关的性质，它们都共同具有。

· 一给定关系的“关系数”是所有与这给定关系相似的关系的类。至于一般的“关系数”，是所有那些关系的类的集合，而这些关系类乃是各种不同的关系的关系数。

· 一给定类的“基数”是所有与这给定类相似的类的集合。

· 两个有穷序列有相同的关系数，当且仅当它们的关系域有相同的基数（相同的项的基数）。

· 适用于序列的关系数可以称做“序列数”。因之当我们知道一有穷序列的关系域中项的基数时，它的序列数也可以确定。

· 在数学中，甚至在很大的程度上在物理科学中，重要的不是我们所研究的各项的内在性质，而是它们相互间的关系的逻辑性质。

· 一关系的“外延”乃是一个有序的对子（x，y）的类，在对子中x对y有所说的关系。

· 当二关系有相仿关系时，或说，当它们有相同的关系数时，它们有相同的结构。因而我们曾经定义过的“关系数”即是我们以“结构”一词所模糊地表示的同一件东西。

· 如果我们所陈述的这些假定是对的，客观的复本必形成一个世界，有与现象界相同的结构，并且凡可以用抽象的概念陈述出来，又已知对于各种现象为真的命题，客观的复本允许我们从现象推论出它们的真实性。

七、有理数、实数和复数

· 如m是任何归纳数，对于任何n而言，＋m是n＋m对于n的关系，－m是n对于n＋m的关系。只要n是一个基数（有穷的或者无穷的）并且m是一个归纳基数，＋m是一个一对一的关系。但是＋m无论如何不能等同于m，因为m不是一个关系，而是许多类的一个类。

· 我们将定义m/n为，当xn＝ym时，二归纳数x，y之间的一个关系。假定m，n俱不为零，m/n是一个一对一的关系。至于n/m乃是m/n的逆关系。

· 无论n为什么归纳数，0/n总是同一个关系，简言之，就是0与其他的任何归纳基数之间的关系。我们可以称之为有理数的零，它不等同于基数0。不论m为什么归纳数，m/0也总是同一的。没有任何归纳基数对应于m/0，我们可以称之为“有理数的无穷”。在分数中只有零和无穷不是一对一的关系。零是一对多的，无穷是多对一的。

· 给定二分数m/n和p/q，假若mq小于pn，我们即说m/n小于p/q。这样定义的小于关系是序列的，因而分数形成一个以大小为序的序列。在这序列中，零是最小的一项。无穷是最大的一项。当0和无穷除去后，分数的序列中既无最小的分数，也无最大的分数。

· 不论两个分数如何接近，在它们之间总有别的分数。在任何两项间总有其他的一些项，因而没有两项是相连的，具有这样性质的序列称为“紧致的”。依大小次序排列的分数形成一个“紧致的”序列。

· 将一序列中所有各项分为二类，使其中一类的各项全先于另一类的各项，如上面所使用的方法由于戴德铿的研究而著名，所以名为“戴氏分割”。关于分割点有四种可能的情形发生：（1）在下部中有一极大，在上部中有一极小，（2）在下部中有一极大，而在上部中无极小，（3）在下部中无极大，而在上部中有极小，（4）在下部中既无极大，在上部中也无极小。”

· 在第二种情形中，我们称下部的极大即上部的下极限，或者是上部中任意取出一些项的集合的下极限，只要在上部中没有一项是先于这一项集中的所有各项。在第三种情形中，我们称上部的极小即下部的上极限或者是下部中任意取出的一个项集的上极限，只要在下部中没有一项是后于这一项集中的所有各项。在第四种情形中，我们说有一“空隙”。

· 设有一项x，一类α及一关系P，如（1）对于P而言，α没有极大，（2）α的每一属于P的关系域的分子都先于x，（3）P的关系域中先于x的每一分子先于α的某一分子，合乎这三个条件，即称x为对于P而言的类α的“上极限”。

· 设有一项x，一类α及一关系P，如x为α的一分子，并且属于P的关系域，又x对于α中其他任何分子均无P关系，则称x为对于P而言的α的“极大”。

· 对于P而言一类的极小乃是对于P的逆关系而言该类的极大；对于P而言一类的“下极限”乃是对于P的逆关系而言，该类的上极限。

· 上极限或极大”被称为“上边界”。如若一项集既没有一个极大也没有一个上极限，那么也没有上边界。“下边界”即是下极限或极小。

· 如一个序列的每一个分割都有一个边界，无论是上边界还是下边界；则此序列称为“戴氏的”序列。以大小为序的分数序列不是戴氏的序列。

· 让我们限制于下部没有极大的分割，在这种情形下我们称下部为一“节”。“一个“实数”即是以大小为序的分数序列中之一节。一个“无理数”即是以大小为序的分数序列中无边界的一节。一个“有理实数”即是以大小为序的分数序列中有边界的一节。

· 任何序列的节所形成的序列是戴氏的序列，因为，给定任意节的集合，它们的边界是这许多节的逻辑和，亦即，至少属于这个集合中的一节的所有那些项形成的类。

· 有二实数，每一实数是一类，在一类中取出一分子，在另一类中也取出一分子，所有可能选择出来的分子的算术和所形成的类就是二实数的算术和。以一类中一分子与另一类中一分子相乘，各种可能的乘积形成的一个分数类就定义为二实数的算术积。

· 一个复数可以简单地看成并且定义成有先后次序的一对实数。有先后次序的两对实数（x，y）和（x'，y'），我们定义它们的和为（x＋x'，y＋y'）一对实数，它们的积为（xx'－yy'，xy'＋x'y）一对实数。

八、无穷基数

· 我们肯定世界上有无穷集合的假设，这个假设的实际形式是：如果n为任何归纳数，则n不等于n＋1。我们所假定的已包含在皮亚诺的基本命题中。

· 归纳数的类的项数应定义为“所有与归纳数类相似的类”，这些类的集合就是归纳数的项数。这个数并不是一个归纳数。

· 一个“自反”类即是一个相似于它自己的一个真部分的类。一个“自反”基数是一个自反类的基数。归纳数类是一个“自反”类，并且它的项数是一个“自反”数。

· 一个“序级”是一个一对一的关系，使得仅仅有一项属于这关系的前域而不属于关系的后域，并且前域等同于这一项的后代。这样定义的序级满足皮亚诺的五个公理。

· 产生序级的两个传递而非对称的关系是相似的。所有这些产生序级的传递关系所形成的类即是一个“序列数”；事实上这是最小的一个无穷序列数。康托以ω作为它的名字。

· 序级的前域形成一个基数，这个基数是最小的无穷基数。最小的无穷基数的名字是ℵ₀。

· 并不是所有的无穷集合的项数都是ℵ₀。例如实数的项数就是大于ℵ₀，事实上它的项数是2^ℵ₀>ℵ₀。即使n是无穷的，我们也不难证明2^n大于n，因为包含在一类中的子类数永远是大于这一类的分子数。

· 无穷基数没有极大。ℵ₀+1=ℵ₀。ℵ₀+n=ℵ₀，此处n为一归纳数。ℵ₀^2=ℵ₀。ℵ₀^n=ℵ₀，此处n为一归纳数。

· 2^ℵ₀是一个非常重要的数，它就是有“连续性”的序列的项数，所谓“连续性”乃是在康托的意义下的连续性。

· 我们从ℵ₀减去它自己，我们可能得到的结果从0到ℵ₀没有一定。ℵ₀为ℵ₀所除时所得的商可以是1到ℵ₀的任何数。

· 康托相信每个类和每一个基数不是归纳的，就是自反的，这一点或许是真的，并且或许很有可能证明；可是直到现在康托和其他的人所提出的证明都有缺点。

· 一个有穷的类或一个有穷的基数即是一个归纳的类或归纳的基数。一个无穷的类或一个无穷的基数即不是归纳的类或不是归纳的基数。所有的自反类与自反基数都是无穷的；但是现在还不知道是否所有的无穷类与无穷基数都是自反的。

九、无穷序列与序数

· 一个“无穷序列”，可以定义为其关系域是一个无穷类的序列。序级是一种无穷序列。一个无穷序列最值得注意的特征就是：只不过将它的各项重新排列就可以使它的序列数改变。

· 有第一第二两序列数，任何一个序列，如果它有第一个序列数，就包含另一个有第二个序列数的序列作为它的一部分，然而却没有一个序列，它有第二个序列数，并且还包括一个有第一个数的序列作为它的一部分。我们就称第一个序列数“大于”第二个序列数。

· 假使μ和ν是两个关系数，一般的法则是μ＋ν不等于ν＋μ。在有穷序数的情形下，二者是相等的，但这是一种稀有的例外。

· 所有使一个序级变得稀疏而得到的序数，它们所组成的序列本身长于任何其他的、由一个序级的项重新排列而得到的序列。这些序数形成一类，这类的基数可以证明是大于ℵ₀；这个数康托称之为ℵ1。从一个ℵ₀所能得到的序数依大小排列起来，它们所组成的序列的序数叫做ω1。是以序数为ω1的一个序列，它的关系域的基数是ℵ1。

· 一个序列，它的每一个子类都有一个首项，那么这序列称为“良序的”序列。一个“序数”乃是指一个良序的序列的关系数。因之它是序列数的一种。

· 如果在一个序列中，所选择的一组项后还有一个直接后继，又若某一个性质为这一组项所据有，那么这性质也必为它的直接后继所据有，这样的性质我们可以称为是“超穷遗传的”。在一个良序的序列中，序列的首项所有的超穷遗传性质，整个的序列也有。

· 从ℵ₀项中我们可能构造一个紧致的序列；我们已经知道有ℵ₀个分数，并且以大小为序的分数形成一个紧致的序列。

· 交换律、结合律、分配律和乘方定律，对于基数，不论有穷或无穷都真，对于有穷序数也真。但当我们讨论到无穷序数，或者一般的关系数时，有些定律成立，有些定律不成立。

十、极限与连续性

· “极限”概念是一个纯粹的序的概念，与量无涉。ℵ₀所以成为有穷数的极限，乃是由于在序列中它紧跟在这些有穷数的后面，这是一个次序方面的事实，而不是一个量方面的事实。

· 对于一个关系P而言，α类的“极小”，乃是α和P的关系域中的一些分子，α中没有分子和它们有P关系。对于关系P而言，α的“极大”即是对于P的逆关系而言，α的“极小”。

· 对于一个关系P而言，α类的“后项”即是α的“后继”的极小，至于α的“后继”乃是P的关系域的一些分子，α与P的关系域的共同分子对于它们都有P关系。对于关系P而言，α类的“前项”即是对于P的逆关系而言，α类的后项。

· 如果对于关系P而言α类没有极大，则对于P而言α的“上极限”即是α的后项；若α有一极大，则α没有上极限。对于关系P而言α类的“下极限”，即是对于P的逆关系而言α类的上极限。

· “由一类α所确定的P的节”，即是与α的分子有P关系的一些项。假定P是序列关系，那么一类α的“边界”就是项x，x的前趋是α所确定的节。α的一个“极大”即是α的边界，这个边界并且还是α的一分子。α的“上极限”即是α的边界，不过这边界不是α的一分子。

· β类的“上极限点”是从β中选择出来的项的集合的上极限。一个集合的极限点称为这一集合的“一级导项”，一级导项的极限点称为二级导项，如此类推。

· 当一个序列的关系域的每一个子“类都有一个边界时，我们即称这序列为戴氏的序列。当一个序列没有空隙时，这序列即戴氏的序列。当一个序列是戴氏的序列和紧致的序列时，这个序列即具有“戴氏的连续性”。

· 如果有一序列，其中所有各点都是极限点，并且所有这序列的极限点都属于这一序列，这样的序列康托定义为“完备的”序列。

· 假若序列中每一分子都是一个序级或者反序级的极限，康托就称这序级为“内在凝聚的”。如包含在一个序列中的每一个序级或反序级都有一个极限，那么这序列称为是“封闭的”。如果一个序列是内在凝聚的，和封闭的，那么，这一序列称为是“完备的”。

· 一个序列的“中间类”乃是关系域的一个子类，在序列的任何二项间有这类的一些分子。一个序列如果（1）是戴氏序列，（2）包含一个有ℵ₀项的中间类，那么这序列是“连续的”。我们称这一种连续性为“康托的连续性”。

· 康托的连续性蕴涵戴氏的连续性，可是反之则不然。一切序列如有康托的连续性必彼此相似，但是有戴氏连续性的一切序列不一定相似。

十一、函数的极限与连续性

· 一数x的邻域即是从x－∊到x＋∊之间所有的数。函数f（x）称为对于自变数a是连续的，如果对于每一个大于0而任意小的σ，存在一个大于0的数∊，使得对于δ的一切值只要其绝对值小于∊，f（a＋δ）－f（a）的绝对值总小于σ。

· 对应于从a－∊到a（a除外）这区间内自变数的函数值是实数的一个集合，这个集合确定实数集合的某个分割，这个分割的下部即是不大于从到a－∊的a函数值的数所组成。让我们取一切可能的∊，和一切可能的对应的分割。所有这些分割的下部的共同部分我们称为当自变数趋近于a时的“基本下部”。

· 说一数z属于这基本下部，就是说：无论我们使∊如何小，在a－∊与a之间总有一些自变数，对应于这些自变数的函数值不小于z。说一数z属于这基本上部就是说：无论我们使∊如何小，在a－∊与a之间有一些自变数，对应于这些自变数的函数值不大于z。“如果一项z既属于基本上部也属于基本下部，我们就说它属于“基本振动部分”。

· 若基本振动部分有许多项，那么当自变数由下趋近于某一点时，函数没有确定的极限。在这种情形下我们可以取基本振动部分的上边界和下边界作为自变数由下趋近于某一点时，函数的“基本”值的上极限和下极限。同样，我们得到自变数由上趋近于某一点时基本值的上极限与下极限。在一般的情形下，趋近于一给定自变数时函数有四个极限。

· 对于一给定自变数a而言，函数的唯一极限只在四个极限全相等时才存在，并且就是这四个极限的共同值。如若这个值也是自变数为a时函数的值，那么函数对于这个自变数a而言是连续的。一个函数对于每一个自变数都是连续的，则称这函数为（没有限制地）连续的。

· 一函数对于自变数a而言是连续的，且有值fa，如果这函数满足下面四个条件：（1）给定任何小于fa的实数，当自变数从下趋近于a时，函数收敛于这数的一切后继中。（2）给定任何大于fa的实数，当自变数从下趋近于a时，函数收敛于这数的一切前趋中。（3）和（4）是与上类似的条件，只不过自变数是从上趋近于a。”

· 如果给定P-序列中任一区间α，α包含对于自变数a而言的函数值，在Q-序列中有一区间，这区间包含a但不以a为终点，并且对应于这整个区间的函数值是α的分子，我们说函数R对于自变数a是连续的。

十二、选择与乘法公理

· 因子数是有穷的乘法没有什么困难。给定二类α和β，α有μ项，β有ν项，为了定义μ×ν，我们可以构造有序的对子，我们从α中选出一项作为一个对子的第一项，从β选出一项作为第二项，所有这些对子形成一个类，这个类所有的项数就是μ×ν。

· 令λ为类的类，并令λ的各分子两两不相交。当一个类恰好由λ的每一分子中的一个项所组成时我们就叫这个类为λ的一个“选择类”，假使μ的每一分子都属于λ的某一分子，并且若α为λ的任一分子，μ和α刚好有一项共同，这个μ即是λ的一个“选择类”。λ所有的选择类形成的类称为λ的“乘法类”。

· 所谓一个类的类λ的一个“选择子”乃是一个一对多的关系，这个关系以λ为它的后域，并且如果x对α有这个关系，那么x是α的一分子。假使R是λ的一个选择子，α为λ的一分子，又x是和α有关系R的项，我们称x为对于关系R而言的α的“代表”。λ的一个选择类现在可以定义为一个选择子的前域。

· 一个类的类λ的分子的项数的乘积是λ的选择子的数目。

· 给定一个类的类，它的各分子互相排斥，并且没有一个是空的，那么至少有一个类，这个类和给定的各类恰好有一项共同。这个命题我们就称之为“乘法公理”。

· 和乘法公理等价的一个命题是：仅当至少一个因子为零时，乘积才是零；亦即，如果任何数目的基数相乘，除非这些基数中有一个是0，乘积绝不为0。

· 和乘法公理等价的另一个命题是：如果R是任意的一个关系，λ是任意的一个类，这类包含在R的后域中。那么至少有一个一对多的关系，这个关系蕴涵R并且以λ为它的后域。

· 和乘法公理等价的第三个命题是：设α为任意一个类，λ是除空类以外α所有的子类的类，那么λ至少有一个选择子。

· 崔梅罗已经证明，乘法公理等价于每一类均可良序这一命题，所谓每一类均可良序就是每一类均可排成一序列，在这一序列中每一子类（除去空类）都有一首项。

· 乘法公理还等价于这么一个假定：任何两个不等的基数必有一个较大。如果公理不真，则将有二基数μ和ν，μ不小于，也不等于，也不大于ν。2^ℵ₀和ℵ1可能就是这样的一对基数的例子。

· 一个序数是一个第二类序数就是：假若它是某一个序列的序数，那么这序列的关系域必有ℵ₀项。假定第二类序数的任意一个序级有一个极限，而且这极限也是一个第二类序数这样一个命题算是已经证明。从这命题我们可以推论出一个系来：ω1（最小的第三类序数）不是任何序级的极限。

· 一个自反数必定是非归纳的，但是逆命题只有假定乘法公理才能证明。这个结果也可以从崔梅罗定理，即是：如乘法公理为真，则任何类均可良序这一命题中推导出来；因为一个良序序列的关系域所有的项数不是一个有穷数就是一个自反数。

· ℵ₀是一个可乘数”，所谓一个数ν是可乘的，即是：除非其中有一个因子为零否则v个因子的乘积绝不为零。我们能够证明一个有穷数 总是可乘的，可是我们不能证明任何的无穷数也是如此。乘法公理等价于这样一个假定：所有的基数都是可乘的。

十三、无穷公理与逻辑类型

· 无穷公理可以叙述如下：若n是任一个归纳基数，则至少有一个类有n个个体。如果这公理是真的，自然我们得出：世界上个体的总数不是一个归纳数。

· 无穷公理给我们保证：确有一些类有n个分子，于是我们才得断定n不等于n＋1。没有这个公理，可能n和n＋1都是空类。

· 如果没有无穷公理，我们能够处理有穷整数和分数的加法、乘法和乘方，但是我们不能处理无穷整数或无理数。这样，我们就不足以建立一个超穷数的理论和实数理论。

· 类型论的必要性由“最大基数的矛盾”可以看出。假若一切能够计数的对象能组成一个类，那么这个类的基数是一切可能的基数中的最大的。因为它所有的子类都是它的分子，子类的数目不会比分子的数目大。

· 将所有不是自己的一分子的类聚在一起形成一个类。假如它是自己的一分子，由于定义我们知道它就是那些不是自己的一分子的类中的一个，也就是，它不是自己的一分子。假如它不是自己的一分子，那么它不是那些不是自己的一分子的类中的一个，也就是，它是自己的一分子。

· 一个个体的类是或不是另一个个体的类的一分子也是没有意义的；以符号构造的任何一个类，假若它的分子在逻辑的层次上不属于同一个等级，那么这些符号就不再表征任何事物。

· 波尔察诺和戴德铿两人还用了一个论证来证明自反类的存在。这个论证，简单地说，是一个对象和它的观念不等同，但是任何对象都有一个观念（至少在存在界是如此），因为一个对象和它的观念有一个一对一的关系，然而观念本身又是对象，所以“是某对象的观念”这个关系将整个对象类反射到它自己的一部分中，这一部分就是观念所构成。因此，对象类和观念类二者都是无穷的。

· 如果就逻辑来了解“观念”，可能观念等同于对象，或者是对象的摹状词。在前一种情形下论证不成立，因为自反性证明中的要点就是对象与观念必须不同。在第二种情形下，论证也不成立，因为对象与摹状词的关系不是一对一的。

· 没有经验的理由使我们相信世界上特殊东西的总数是无穷的；同样目前也没有任何经验的理由使我们相信这数目是有穷的。关于世界上事物的总数是有穷的抑或无穷的这一点，我们没有一点先验的、普遍并且必然的知识。

· 我们定义“专有名词”为在命题中只能作为主词出现的项。所谓“个体”或“特殊东西”就是可以用专有名词来指称的东西。

· 在理论上分析必能达到最后的主体，这些就是所谓的“个体”或者“特殊东西”。我们把公理解释为关于这些东西的，而不是关于整个层次中的任何别的阶段的。

十四、不相容性与演绎法理论

· 在数学中用数学的方法所能知道的东西就是能从纯逻辑推演出来的东西。至于属于人类知识的其他东西必须用经验的方法来确定，通过感觉，或者通过某种形式的经验，但不是先验的、演绎的。

· 在演绎法中有一个或者多个命题称为前提，从前提我们推论出一个命题称为结论。这样我们可以把演绎法看成是一个过程，通过这个过程我们从某个命题，即前提的知识达到另一个命题即结论的知识。但是除非前提和结论间有这么一种关系：如果我们知道前提是真的，则我们有权利相信结论也必真；否则我们将不认为这个过程是逻辑的演绎法。

· 命题函项中最简单的一种就是否定，“非－p”。这是一个p的函项，当p假时它真，当p真时它假。一命题之真或假我们称为是这命题的“真假值”。

· 析取关系“p或q”的真假值在p真时是真的，q真时也真，但是在p和q全假时是假。合取关系“p且q”当p和q全真时函项的真假值是真；否则，即p和q有一为假或全假时，函项的真假值是假。

· 不相容关系，即“p且q不全真”，是合取关系的否定；也是p的否定和q的否定的析取关系，亦即，“非－p或非－q”。这个函项的真假值在p假时是真，在q假时也真，当p和q都真时函项的真假值是假。

· 蕴涵关系，即“p蕴涵q”，或者“如果p则q”意谓“非－p或q”：如果p是假的它的真假值是真，同样，如果q是真的它的真假值也是真，但若p真而q假，它的真假值是假。

· 给定p的真假值或者p与q的真假值，我们可以得到否定，析取，合取，不相容，蕴涵五个函项的真假值，有这样性质的命题函项称为“真值函项”。

· 我们的初始概念是称为“不相容”的一个“真值函项”，这个函项以“p/q”来表示。否定可以定义为一个命题和它自己不相容，亦即，“非－p”可以定义为“p/p”。析取是非－p 与非－q 不相容，也就是，（p/p）|（q/q）。蕴涵是p与非－q不相容，也就是p|（q/q）。合取是不相容的否定，也就是（p/q）|（p/q）。

· 以下五命题是《数学原理》中所使用的形式的演绎法原则。（l）“p或p”蕴涵p，即，如果或者p真或者p真，那么p真。（2）q蕴涵“p或q”，即，析取“p或q”在p和q二者中有一为真时为真。（3）“p或q”蕴涵“q或p”。（4）假若或者p真或者“q或r”真，那么或者q真或者“p或r”真。（5）如果q蕴涵r，那么“p或q”蕴涵“p或r”。

· 让我们以¬p表示p的否定；如是¬(p/s)的意义就是p/s的否定，亦即，p和s的合取，跟着有(s/q)|¬(p/s)的意义是s/q和p及s的合取不相容；换言之，它说如果p和s都真，则s/q假，也就是s和q都真；用更简单的话说，它表示p和s的合取蕴涵s和q的合取。

· “p|（q/r）的意义是“p蕴涵q和r”。t|（t/t）的意义是“t蕴涵它自己”。令P=p|（q/r），π=t|（t/t），Q=(s/q)|¬(p/s)。倪可德的唯一的一条演绎法的形式原则就是P|（π/Q），也就是，P蕴涵“π且Q”。

十五、命题函项

· 我们用“命题”这个词主要地是指一些字或者其他符号组合成的一种形式，这种形式所表达的或者是真或者是假。

· 一个“命题函项”其实就是一个表达式，这表达式包含了一个或者多个未定的成分，当我们将值赋予这些成分时，这个表达式就变成了一个命题。一个命题函项即是其值为命题的函项。在命题函项中，它们的值必须实实在在陈述了一些命题。

· 只有两个东西可以用命题函项来完全说明，一个是断定它在一切情形下都真，另一个是断定它至少在一种情形下为真，或者在有些情形下为真。

· 无穷公理用命题函项的语言表达出来就是：“命题函项‘如n为一归纳数，则a为一n个个体的类对于a的某些值为真’对于n的一切可能的值都是真的”。

· 说一个函项ϕχ恒真这个语句是说非－ϕχ有时真这个语句的否定，说ϕχ有时真这个语句是说非－ϕχ恒真这个语句的否定。

· 不含约束变元的命题称为“初等命题”。从这些简单的命题用以上所说明的方法，一步一步地我们可以达到真值函项的理论。

· 假定S是所有能使ϕχ为真的那些项χ的类，P是所有能使ψχ为真的那些项x 的类，那么就有：“所有的S都是P”的意思就是“‘ϕχ蕴涵ψχ’恒真”。“有的S是P”的意思就是“‘ϕχ且ψχ’有时真”。“没有S是P”的意思就是“‘ϕχ蕴涵非－ψχ’恒真”。“有的S不是P”的意思就是“‘ϕχ且非－ψχ’有时真”。

· 当我们的意思是“ϕχ蕴涵ψχ”恒真时，我们说“ϕχ恒蕴涵ψχ”。“ϕχ恒蕴涵ψχ”这种形式的命题称为“形式蕴涵”。

· “所有的S都是P”并不蕴涵“有的S是P”，因为前者允许S不存在，而后者是不允许S不存在的；于是“所有S都是P，所以有的P是S”这样的换位不能成立。

· “存在”这概念有几个形式，至于最基本的形式乃是从“有时真”这概念直接推导出来的。

· 在命题函项的情形下三分法是明显的：如ϕχ是某个命题函项的一个尚未规定的值，若函项恒真，它是必然的，若函项有时真，它是可能的，若函项绝不为真，它是不可能的。

十六、摹状词

· 一个非限定的摹状词是一个这种形式的词组：“一个某某”；一个限定的摹状词是一个这种形式的词组：“那个某某”。

· 只有当x是一个限定的或非限定的摹状词时，像“x是不实在的”这样的命题才有意义；在这个情形下如果“x”是一个摹状什么也没有的摹状词，这个命题为真。

· “一个有性质ϕ的对象有性质ψ”这样的一个语句，其意义就是：“ϕχ和ψχ的联合断定不常假”。

· “苏格拉底是人”中的“是”表示主词和谓词之间的关系，而“苏格拉底是一个人”中的“是”表示等同。在“苏格拉底是一个人”中的等同乃是名字称呼的对象和一个非限定地摹状的对象之间的等同。

· 一个名字乃是一个简单的符号，直接指一个个体，这个体就是它的意义，并且凭它自身而有这意义，与所有其他的字的意义无关。一个摹状词由几个字组成，这些字的意义已经确定，摹状词所有的意义都是从这些意义而来。

· 假若“x”是一个名字，那么，不论“x”是什么名字，“x＝x”和“那个写《瓦弗利》的人是那个写《瓦弗利》的人”不是相同的命题。因此从“x＝x”这样形式的一切命题全真这个事实我们不能毫无困难地推论“那个写《瓦弗利》的人是那个写《瓦弗利》的人”。事实上，“那个某某是那个某某”这样形式的命题不是恒真的，欲其常真必需：那个某某存在。

· “那个满足函项ϕχ的项存在”的意义是：“有一项c，使得ϕχ的真假值和‘x是c’的真假值恒相等。”

· “满足函项ϕχ的项满足ψχ”定义为：“有一项c，使得（1）ϕχ的真假值恒等于‘x是c’的真假值，（2）ψc真”。

· 存在只有用于摹状词才有意义；因为如果“a”是一个名字，它必指某个东西，如若有意把它作为一个名字用，那么它是没有意义的符号；一个摹状词不会仅仅因为它不摹状任何东西而变成没有意义的，原因是它是一个复合的符号，它的意义是从组成它的符号的意义得来的。

· 如果一摹状词出现于其中的命题是从某个命题函项ϕχ将其中的“x”代以摹状词而得到的，那么这摹状词称为在这命题中有一个“主要的”出现；如果将ϕχ中的x代以这摹状词后所得的只是原有命题的一部分，那么这摹状词称为在这命题中有一个“次要的”出现。

十七、类

· 如果命题函项“‘x是一个a’的真假值恒等于‘x是c’的真假值”不常假，或者，如果有一项c，使得在x是c时且只有在x是c时，x是α的一分子，那么类α称为是一个“单一的”类。

· 类的符号只是方便，并不代表称作“类”的对象，而且类事实上像摹状词一样是逻辑的虚构，或者用我们的话说是“不完全的符号”。

· 在给定函项真时，其他的也真，在给定函项假时，其他的也假。如果两个命题函项有这样的情形，我们称这两命题函项为“形式等价”，两个命题同真同假时，我们称这两命题的真假值相等或等价；两个命题函项ϕχ，ψχ恒等价，这两函项就是形式等价。

· 一个符号如用作类，以下的条件是必需而又充分的：（1）每一个命题函项必决定一个类，这个类所包括的分子就是使函项为真的那些主目。（2）两个形式等价的命题函项必决定同一个类，两个不形式等价的命题函项必决定不同的类。（3）我们必须找到某种方法不仅定义类，还定义类的类。（4）无论在什么情形下，假定一个类是它自己的一分子或者不是它自己的一分子都是没有意义的。（5）必须能够作出关于由个体组成的一切类的命题，或者关于属于某一逻辑“类型”的对象所组成的一切类的命题。

· 包含一个函项ϕχ的语句，如果经过任何形式等价的函项代入后它的真假值不变，我们称它为函项ϕχ的一个“外延”函项。当一个函项的函项不是外延的，我们称它为“内涵的”。一个函项x的外延函项可以看成是由x决定的类的函项，而内涵函项则不能如此看待。

· 所有的特殊的函项的函项都是外延的。假使α是ϕχ所决定的类，“ϕχ恒真”等价于“每个东西都是α的一分子”，“ϕχ有时真”等价于“α至少有一个分子”。

· “若原函项为“函项ϕχ有性质f”，它便是：“有一个函项有性质f，且与ϕχ形式等价”。这样的函项我们称为“导出的外延函项”。断定“由函项ϕχ决定的类有性质f”就是断定ϕχ满足由f导出的外延函项。

· 不涉及任何函项集合的函项被称为“直谓的a函项”。我们称直谓的a函项为第一级类型的a函项；涉及全体第一级类型的a函项称为第二级类型的a函项；如是类推。没有一个a函项的变元能历经所有不同的类型：到某一个固定点，它必须突然停止。

· “还原公理”叙述如下：有一个a函项的类型（譬如说τ），使得给定任何a函项，有属于所说类型的某个函项与它形式等价。

· 类的理论可以归约到一个公理和一个定义。这公理是：有一个类型τ，使得如果ϕ是一个能取一给定对象作为主目的函项，那么有一个函项ψ，ψ属于类型τ，并且和ϕ形式等价。这定义是：如果ϕ是一个能取一给定对象作主目的函项，τ是以上公理所说的一个类型，那么说由ϕ决定的类有性质f，就是说，有一个函项，这函项属τ类型，和ϕ形式等价，并且有性质f。

十八、数学与逻辑

· 数学与逻辑二者等同的证明自然是一件很细致的工作：从普遍承认属于逻辑的前提出发，借助演绎达到显然也属于数学的结果，在这些结果中我们发现没有地方可以划一条明确的界限，使逻辑与数学分居左右两边。

· 称为算术或者逻辑都无不可的这门学科的某些特征是很明显的。在这门学科中我们不从处理特殊的东西或者特殊的性质入手：我们从形式上研究所谓任何的东西或者任何的性质。

· 形式是作为组成的成分进入逻辑命题中。一个命题的“形式”乃是当命题的每一个成分为其他的东西所替换后命题中仍然不变的东西。

· 逻辑的或者数学的命题能够从一个不含变元的命题得到，即是将其中每一个成分改为一个变元，并且断定所得的结果恒真或有时真，或者先断定其对于某些变元恒真，再断定以上结果对于其余变元有时真，或者作任何其他类似的断定，就可以得到一个逻辑的或数学的命题。

· 形式能够用特殊的词以外的其他方法表示：词的次序可以将所要表示的表示出一大半。

· 假定命题的形式可由另一些命题形式表示，在其中并没有用到任何特殊的指明形式的词，我们将得到一个语言，在这个语言中每一个形式的东西属于句法而不属于词汇。在这样的一个语言中即使我们一个词都不知道，我们还是能够表达出所有的数学命题。

· 逻辑命题的特征之一是：设有一个适当的语言，一个人只知道这语言的句法，可是对于词汇中的一个词都不知道，他也能够在这语言中断定一个如是这般的命题。

· 逻辑常项可以用我们定义形式的方式一样地定义；它们本质上是一回事。一个基本的逻辑常项就是许多命题所共同的东西，这些命题中的任一个都可以从其他的任一个将项加以替换得到。

· 虽然所有的逻辑的（或者数学的）命题能完全由逻辑常项以及变元表达出来，反之，能以这种方式表达出来的命题并不都是逻辑的。

· 那些说逻辑命题的特征就在于它能从矛盾律演绎出来的人，他们感觉到了并且打算定义出我们所寻求的逻辑命题的特征。我们可以暂且称这种特征为“同语反复”。

· 逻辑命题是可以先验地认识的，不需对于实际世界作一番研究。

· 逻辑的符号系统对于数理哲学精确的和彻底的讨论是绝对必需的。

参考文献

罗素，《数理哲学导论》