将一个集合与一个数对应起来，就是集函数。这个函数实际上隐含了积分的性质，因为积分就是将一块东西定义为一个数，这个东西如果是线段，那定义的数就是长度，如果是面，那定义的数就是面积，如果是一个三维物体，那对应的数就是体积。
这块东西总可以视为集合，所以这些都是集合到数的例子。具体来讲，比如线段可以视为许许多多的小线段组合成的，小线段可以视为区间，自然是集合，每条线段都有确定的长度，长度是一个数，于是，集合到数的对应就建立起来了，这个对应关系就是集函数，通俗来讲，集函数的作用就是，你给它一个集合，它就给你一个数。任意给出一条线段，这条线段就是一个集合，通过上面建立的集函数，就得到了一个数，这个数就是线段的长度。
这个集函数就是测度的原型，要成为真正的测度，还需要满足一系列的条件。比如说，我们有两条线段，他们整体的长度应该是各自长度之和，这就是可加性。然后，长度一般来说不应该小于零，所以集函数应该是非负的，也就是正测度。还有对关键的一点，那就是要容纳极限，著名的例子，就是线段可以无限分割，但其总长度是有限的。也就是可数可加性。
满足了上面的性质的集函数就是很好用的测度了，只要将某个集合代入，就能得到想要测量的数。
这就是积分的现代概念了，通过函数的观点来描述积分，极大的拓展了积分的应用，而且，也扩充了函数的形式，从数与数的对应，拓展到了集合与数的对应，而且这种拓展没有就此止步，函数与数的对应，结构与数的对应，结构与结构的对应。这些想法最终孕育了抽象函数论，也就是范畴论，函数不再是数学对象的附属，而变成了数学本身，在一种高度抽象的程度上，统一了许多领域，其结论的普适性超乎想象，集合与函数，是两个最基本的数学对象，而关于他们的理论自然影响深远。
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