什么是导函数？

作者: 7300T | 来源:发表于2019-03-18 19:55 被阅读198次

什么是导函数？
导数与导函数
导数
高中数学题型四十七(二次求导，隐零点，求最值)
自动化测试的三个小知识，附带小工具
Chapter4——不定积分
1 参悟深度学习-梯度下降法
【原创】复数神经网络的反向传播算法，及pytorch实现方法
九月七日总结
导啊导啊导导出一头驴来

函数f（x）的求导公式
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
该算式叫做函数f（x）的导函数。
也就是说，“求导”就是“求导函数”。
函数是什么意思？
函数是一种关系，在这种关系中，某一个变量的任意一个值都对应某一固定的值。
f（x）中x为自变量。f很常见，它是“function（函数）”的第一个字母。函有匣子之意，意思是说将x放在f这个匣子里，就能进行计算并得到答案。
因此，对f（x）求导得到的导函数也是函数。也就是说，代入变量x的值就能得到相应的斜率，非常方便。
导函数通常表示为f（x）。在f后面加上“”，读做“f撇x”。
导函数也可以求导，得到的是导函数的导函数。此时因为是二次求导，所以写成 $f^{\prime \prime}(x)$ 。上撇号会根据求导的次数添加。
综上：
$f^{\prime }(x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .
咱们的课本上只对下列常用函数用定义求了导函数：

$y=f(x)=c$ 导数
因为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{c-c}{\Delta x}=0$

所以
$y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 0=0$
用一句话说就是：常函数的导数是零。用我们昨天的话说，就是常函数的每一点处的斜率为0.

$y=f(x)=x$ 的导数
因为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=1$
所以
$y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 1=1$
$y=f(x)=x^{2}$ 的导数
因为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}$
$=\frac{x^{2}+2 x \cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}$
$=2 x+\Delta x$
所以
$y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(2 x+\Delta x)=2 x$
$y=f(x)=\frac{1}{x}$ 的导数
因为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}$
$=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x) \Delta x}=-\frac{1}{x^{2}+x \cdot \Delta x}$
所以
$y^{\prime}=\lim _{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(-\frac{1}{x^{2}+x \cdot \Delta x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}$ 、
$y=f(x)=\sqrt{x}$ 的导数
因为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$
$=\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$
$=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$
所以
$y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x+0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
书上说了，为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表。
image.png
什么意思，你不用全部推导一遍，但是你要明白，上面的公式全部都是用导数的定义推出来的。学数学，最好不要死记公式，但是对于高中生来说，上面的一些公式用你现在所具备的知识无法推导，有兴趣了解以上公式推导的同学请关注我后面的内容，我会收集一些简要的证明提供给大家。

什么是导函数？
函数f（x）的求导公式该算式叫做函数f（x）的导函数。也就是说，“求导”就是“求导函数”。函数是什么意思？函数是一...
导数与导函数
结论错误，混淆了导函数左右极限和左右导函数
导数
一阶导数可导函数的充要条件函数f(x) 在可导的充要条件是它在的左、右导数存在且相等函数可导和连续的关系如...
高中数学题型四十七(二次求导，隐零点，求最值)
导函数的正负决定了原函数的单调性，而单调性又决定了极值、最值。若函数求完导之后不能确定其正负，对导函数再次求导，往...
自动化测试的三个小知识，附带小工具
Python 的执行过程 Python是脚本语言，不管是导包还是定义函数，或者是什么别的，都是一行一行执行的。导...
Chapter4——不定积分
1. 原函数的概念在区间上，可导函数的导函数位，即在区间I上满足：则称函数为函数上的原函数如果函数在区间上连...
1 参悟深度学习-梯度下降法
数学知识导函数本质上梯度下降法是在解决极值的问题而在数学上求极值，需要知道导函数就很容易求的比如函数 ...
【原创】复数神经网络的反向传播算法，及pytorch实现方法
复函数的可导性复变函数按照是否可导，分为全纯函数holomothic和nonholomophic，判断条件为Ca...
九月七日总结
英语：阅读真题，错两个时文精析，便捷的副作用数学：导数与微分，函数可导性及其导函数的连续性（尤其是分段函数...
导啊导啊导导出一头驴来
幂函数求导三角函数组合函数 Sum rule: 前导后不导后导前不导前轱辘不转后轱辘转，后轱辘不转前轱...