线性代数(7) 矩阵

linearalgebra.png

矩阵

矩阵在机器学习中重要性就不再多数，在机器学习特别是深度学习中，大部分工作就是对矩阵进行变换和运算。以下内容需要我们掌握的。

• 矩阵运算
• 逆矩阵
• 矩阵的秩
• 初等变换
• SVD 矩阵分解

我们在推荐系统直接就用矩阵来表示用户和物品之间关系，其实矩阵可以理解为一张数表，表示行和列间对应关系。

数表，上面表示 m x n 矩阵，矩阵符号一遍使用大小字母来表示矩阵，但是注意大写 D 留给表示行列式。在大写字母右下角表示矩阵行数和列数例如

矩阵和行列式差别

矩阵是一张数表，而行列式是一个数据，之前我们介绍如何将行列式展开进行计算来得到一个数据。表示方式不同，行列式用两条竖线来表示行列式，而矩阵用括号或方括号来表示矩阵。而且行列式行数和列数是相同，也就是我们在描述行列式通常说 n 阶行列式，而矩阵就更加灵活了，行数和列数可以相等也可以不相等。
其实行列式是方阵的一个属性。

矩阵的分类

• 实矩阵和复矩阵
• 行矩阵和列矩阵
• 零矩阵
• 负矩阵 对于 A 矩阵负矩阵是 -A 表示
• 行数和列数相等就是 n 阶方阵
• 如果一个矩阵
  

E_5 = np.eye(5)
E_5

array([[1., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 1.]])

• 只有一行一列的
• 同型矩阵，也就是行数和列数对应相等的

m_2 = np.ones_like(m_1)
m_2.shape

在 numpy 中，我们通通过矩阵的 shape 属性来查看矩阵形状，这里 like 表示创建全部元素都是 1 与 m_1 形状相同的同型矩阵。

• 矩阵相等前提是同型矩阵
• 这里说只有方阵才有主对角线和次对角线

矩阵运算

矩阵加法

两个矩阵对应元素相加即可

a_1 = np.arange(0,9).reshape((3,3))
a_1

array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

a_2 = np.arange(1,10).reshape((3,3))
a_2

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

a_3 = a_1 + a_2

array([[ 1,  3,  5],
       [ 7,  9, 11],
       [13, 15, 17]])

这里值得强调的是，书上说的只有同型矩阵才能相加减，但是在numpy 中因为 numpy 又一个广播特征，就是 numpy 中矩阵只满足一个维度上与矩阵保持一致，所以可以通过自动广播形式将行或列元素进行复制来保持维度一致。

a_5 = np.array([1,1,1])
a_6 = a_1 + a_5
a_6

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

矩阵的减法

• 
• 
• 
• k(A+ B) = kA + kB
• 

矩阵的数乘

a_7 = 3 * a_1
a_7

array([[ 0,  3,  6],
       [ 9, 12, 15],
       [18, 21, 24]])

矩阵提取公因子是所有元素均有公因子，公因子外提一次，而行列式是行提取公因子，每一行都需要提取一次。那么行列式所有元素都有公因子，那么所有元素均有外提 n 次。

矩阵的乘法

其实矩阵乘法是

a_1 = np.arange(0,6).reshape(2,3)
a_1

array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])

a_2 = np.arange(0,6).reshape(3,2)
a_2

array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])

a_3 = np.dot(a_1,a_2)
a_3

array([[10, 13],
       [28, 40]])

结果矩阵形状，结果矩阵行数等于第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数等于矩阵的列数。