一、堆
堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。
- 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
- 堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
我们这里讲的是二叉堆。
堆的入队和出队的时间复杂度都是O(log n)
上图就是一个最大堆的事例
下面我们使用数组来构建一个最大堆，在这里为了便于理解，数组索引为0的节点不存放数值，从第二个节点开始存放数据。
当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：
- 父节点的索引：index/2 (index为当前节点的索引)
- 左孩子的索引：index*2
- 右孩子的索引：index*2+1
如果从数组的第一个节点开始存放数据的话，当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：
- 父节点的索引：(index-1)/2 (index为当前节点的索引)
- 左孩子的索引：index*2+1
- 右孩子的索引：index*2+2
二、优先队列
普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 （first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。
三、最大堆的基础架构
3.1 动态数组的底层实现
public class Array<E> {
private E[] data;
private int size;
public Array(){
this(10);
}
public Array(int capacity){
this.data = (E[]) new Object[capacity];
this.size = 0;
}
public Array(E[] arr){
this.data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
this.size = arr.length;
}
/**
* 获取数组中元素个数
* @return
*/
public int getSize(){
return size;
}
/**
* 获取数组容量
* @return
*/
public int getCapacity(){
return data.length;
}
/**
* 返回数组是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
/**
* 数组尾部新增元素
* @param e
*/
public void addLast(E e){
add(size, e);
}
/**
* 数组头部新增元素
* @param e
*/
public void addFirst(E e){
add(0, e);
}
/**
* 在指定位置插入元素
* @param index
* @param e
*/
public void add(int index, E e){
if(index < 0 || index > size){
throw new IllegalArgumentException("AddLast failed. require index >=0 and index <= size");
}
if(size == data.length){
//扩容
resize(2 * data.length);
}
for(int i = size - 1; i >= index; i --){
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size ++;
}
/**
* 数组扩容
* @param newCapacity
*/
private void resize(int newCapacity){
E[] newData = (E[])new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newData[i] = data[i];
}
data = newData;
}
/**
* 获取指定索引位置的值
* @param index
* @return
*/
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Get failed. index is illegal.");
}
return data[index];
}
/**
* 替换指定索引位置的值
* @param index
* @param e
*/
public void set(int index, E e){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Set failed. index is illegal.");
}
data[index] = e;
}
/**
* 数组是否包含元素e
* @param e
* @return
*/
public boolean contains(E e){
for (int i = 0; i < size; i++) {
if(data[i].equals(e)){
return true;
}
}
return false;
}
/**
* 查找数组中元素e所在的索引,不存在元素e,返回-1
* @param e
* @return
*/
public int find(E e){
for (int i = 0; i < size; i++) {
if(data[i].equals(e)){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 删除数组中index位置的元素, 并返回删除的元素
* @param index
* @return
*/
public E remove(int index){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index; i < size - 1; i++) {
data[i] = data[i + 1];
}
size --;
data[size] = null;
if(size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0){
//当数组长度缩小为原数组的4分之一的时候才进行数组的缩容，
//缩小为原数组的2分之一，预留空间，防止有数据添加导致扩容浪费性能
resize(data.length / 2);
}
return ret;
}
/**
* 删除数组中第一个元素
* @return
*/
public E removeFirst(){
return remove(0);
}
/**
* 删除数组中最后一个元素
* @return
*/
public E removeLast(){
return remove(size - 1);
}
/**
* 从数组中删除元素e
* @param e
*/
public void removeElement(E e){
int index = find(e);
if(index != -1){
remove(index);
}
}
/**
* 数组索引元素交换
* @param i
* @param j
*/
public void swap(int i, int j){
if(i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size){
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
E temp = data[i];
data[i] = data[j];
data[j] = temp;
}
@Override
public String toString(){
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.append(String.format("Array: size = %d, capacity = %d\n",size,data.length));
sb.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++) {
sb.append(data[i]);
if(i != size - 1){
sb.append(", ");
}
}
sb.append("]");
return sb.toString();
}
}
3.2 最大堆使用动态数组作为底层实现
/**
* @Author: huangyibo
* @Date: 2022/2/17 22:54
* @Description: 最大堆 完全二叉树，父亲节点大于等于孩子节点，采用数组表示
*/
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
//这里使用数组来实现
private Array<E> data;
public MaxHeap(){
data = new Array<>();
}
public MaxHeap(int capacity){
data = new Array<>(capacity);
}
/**
* 返回堆中的元素个数
* @return
*/
public int getSize(){
return data.getSize();
}
/**
*堆是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty(){
return data.isEmpty();
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int parent(int index){
if(index == 0){
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");
}
return (index - 1) / 2;
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
* @return
*/
private int leftChild(int index){
return index * 2 + 1;
}
/**
* 回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int rightChild(int index){
return index * 2 + 2;
}
}
3.3 往堆中添加元素
- 在向堆中添加元素时，除了要维持完全二叉树的结构，还要注意堆的约束条件：根节点的值要大于左右子树的值。
在这里因为我们使用数组来实现的堆，所以添加元素时，我们可以先将元素添加到数组的末尾，然后循环的与父节点比较大小，比父节点大就与父节点交换位置，之后就继续与新的父节点比较大小，直到小于等于父节点。
-
如图所示，我们要在这个堆中添加一个元素36。
-
先将元素添加到数组的末尾。
-
然后通过当前的索引计算出父节点的索引，通过索引得到父节点的值16，通过比较新添加的节点比其父节点大，所以将新添加的值与父节点交换在数组中的位置。之后再与新的父节点41比较，36<41，结束操作。
添加元素的代码实现
/**
* 向堆中添加元素
* @param e
*/
public void add(E e){
data.addLast(e);
//当前元素在数组中的索引为 data.getSize() - 1
//比较当前元素和其父亲节点的元素，大于父亲节点元素则交换位置
siftUp(data.getSize() - 1);
}
/**
* k索引元素比父节点元素大，则交换位置，不断循环
* @param k
*/
private void siftUp(int k){
//k > 0 并且k索引元素比父节点元素大，则交换位置，不断循环
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0){
data.swap(parent(k), k);
k = parent(k);
}
}
3.4 删除堆顶元素
删除堆顶元素要注意维持堆的特殊性质。这里举个例子。
-
要将这个堆中删除最大值，也就是堆顶元素62，先将62取出。
-
将堆顶元素和堆的最后一个元素互换，也就是数组的首尾元素互换。
-
删除最后一个元素，也就是堆中的最大值
-
将当前的堆顶元素16的左右孩子41、30进行比较，找出最大的一个41，再与根节点16进行比较，左孩子41比根节点16大，所以将根节点与其左孩子互换，如图所示。
-
重复上面的操作，直到当前节点的值大于其左右子树。过程如下所示。
删除堆顶元素的代码实现
/**
* 查看堆中最大元素
* @return
*/
public E findMax(){
if(data.getSize() == 0){
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
}
return data.get(0);
}
/**
* 取出堆中最大元素
* @return
*/
public E extractMax(){
//获取堆中最大元素
E ret = findMax();
//堆中最开始的元素和最后元素交换位置
data.swap(0,data.getSize() - 1);
//删除堆中最后一个元素
data.removeLast();
//0索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
siftDown(0);
return ret;
}
/**
* k索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
* @param k
*/
private void siftDown(int k){
while (leftChild(k) < data.getSize()){
//获取k索引的左孩子的索引
int j = leftChild(k);
//j + 1 < data.getSize()
if(j + 1 < data.getSize() &&
//如果右孩子比左孩子大
data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0){
//最大孩子的索引赋值给j
j = rightChild(k);
}
//此时data[j]是leftChild和rightChild中的最大值
if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0){
//如果父亲节点大于等于左右孩子节点，跳出循环
break;
}
//如果父亲节点小于左右孩子节点(中的最大值)，交换索引的值
data.swap(k, j);
//交换完成之后，将j赋值给K,重新进入循环
k = j;
}
}
3.5 Replace操作
Replace是指将堆中的最大元素取出，替换另一个进去。
自然地我们会想到使用之前的extractMax()和add()来实现，但是这样的时间复杂度将会是两次的O(log n)，因此我们可以直接将堆顶元素替换以后执行sift down操作，这样时间复杂度就只有O(log n)。
Replace代码实现
/**
* 取出堆中最大元素，并且替换成元素e
* @param e
* @return
*/
public E replace(E e){
//获取堆中的最大值
E ret = findMax();
//用新添加的元素替换最大的元素
data.set(0, e);
//0索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
siftDown(0);
return ret;
}
3.6 Heapify操作
Heapify是指将数组转化为堆。
这里我们先将数组直接看成是一个完全二叉树，然后找到这棵二叉树的最后一个非叶子节点的节点，也就是该树的最后一个节点的父节点。然后从这个节点开始到根节点结束，执行sift down操作。这样的时间复杂度为O(n)。
Heapify代码实现
/**
* 将任意数组整理成堆的形状
* @param arr
*/
public MaxHeap(E[] arr){
data = new Array<>(arr);
//从最后一个叶子节点的父节点开始进行siftDown操作,不断循环
for(int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i --){
siftDown(i);
}
}
至此就完成了整个基于动态数组实现的最大堆的全部代码，完整代码如下 :
动态数组底层实现
/**
* @Author: huangyibo
* @Date: 2021/12/25 17:29
* @Description: 数组实现
*/
public class Array<E> {
private E[] data;
private int size;
public Array(){
this(10);
}
public Array(int capacity){
this.data = (E[]) new Object[capacity];
this.size = 0;
}
public Array(E[] arr){
this.data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
this.size = arr.length;
}
/**
* 获取数组中元素个数
* @return
*/
public int getSize(){
return size;
}
/**
* 获取数组容量
* @return
*/
public int getCapacity(){
return data.length;
}
/**
* 返回数组是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
/**
* 数组尾部新增元素
* @param e
*/
public void addLast(E e){
add(size, e);
}
/**
* 数组头部新增元素
* @param e
*/
public void addFirst(E e){
add(0, e);
}
/**
* 在指定位置插入元素
* @param index
* @param e
*/
public void add(int index, E e){
if(index < 0 || index > size){
throw new IllegalArgumentException("AddLast failed. require index >=0 and index <= size");
}
if(size == data.length){
//扩容
resize(2 * data.length);
}
for(int i = size - 1; i >= index; i --){
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size ++;
}
/**
* 数组扩容
* @param newCapacity
*/
private void resize(int newCapacity){
E[] newData = (E[])new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newData[i] = data[i];
}
data = newData;
}
/**
* 获取指定索引位置的值
* @param index
* @return
*/
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Get failed. index is illegal.");
}
return data[index];
}
/**
* 替换指定索引位置的值
* @param index
* @param e
*/
public void set(int index, E e){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Set failed. index is illegal.");
}
data[index] = e;
}
/**
* 数组是否包含元素e
* @param e
* @return
*/
public boolean contains(E e){
for (int i = 0; i < size; i++) {
if(data[i].equals(e)){
return true;
}
}
return false;
}
/**
* 查找数组中元素e所在的索引,不存在元素e,返回-1
* @param e
* @return
*/
public int find(E e){
for (int i = 0; i < size; i++) {
if(data[i].equals(e)){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 删除数组中index位置的元素, 并返回删除的元素
* @param index
* @return
*/
public E remove(int index){
if(index < 0 || index >= size){
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index; i < size - 1; i++) {
data[i] = data[i + 1];
}
size --;
data[size] = null;
if(size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0){
//当数组长度缩小为原数组的4分之一的时候才进行数组的缩容，
//缩小为原数组的2分之一，预留空间，防止有数据添加导致扩容浪费性能
resize(data.length / 2);
}
return ret;
}
/**
* 删除数组中第一个元素
* @return
*/
public E removeFirst(){
return remove(0);
}
/**
* 删除数组中最后一个元素
* @return
*/
public E removeLast(){
return remove(size - 1);
}
/**
* 从数组中删除元素e
* @param e
*/
public void removeElement(E e){
int index = find(e);
if(index != -1){
remove(index);
}
}
/**
* 数组索引元素交换
* @param i
* @param j
*/
public void swap(int i, int j){
if(i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size){
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
E temp = data[i];
data[i] = data[j];
data[j] = temp;
}
@Override
public String toString(){
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.append(String.format("Array: size = %d, capacity = %d\n",size,data.length));
sb.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++) {
sb.append(data[i]);
if(i != size - 1){
sb.append(", ");
}
}
sb.append("]");
return sb.toString();
}
}
基于动态数组底层实现的最大堆实现
/**
* @Author: huangyibo
* @Date: 2022/2/17 22:54
* @Description: 最大堆 完全二叉树，父亲节点大于等于孩子节点，采用数组表示
*/
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
//这里使用数组来实现
private Array<E> data;
public MaxHeap(){
data = new Array<>();
}
public MaxHeap(int capacity){
data = new Array<>(capacity);
}
/**
* 将任意数组整理成堆的形状
* @param arr
*/
public MaxHeap(E[] arr){
data = new Array<>(arr);
//从最后一个叶子节点的父节点开始进行siftDown操作,不断循环
for(int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i --){
siftDown(i);
}
}
/**
* 返回堆中的元素个数
* @return
*/
public int getSize(){
return data.getSize();
}
/**
*堆是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty(){
return data.isEmpty();
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int parent(int index){
if(index == 0){
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");
}
return (index - 1) / 2;
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
* @return
*/
private int leftChild(int index){
return index * 2 + 1;
}
/**
* 回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int rightChild(int index){
return index * 2 + 2;
}
/**
* 向堆中添加元素
* @param e
*/
public void add(E e){
data.addLast(e);
//当前元素在数组中的索引为 data.getSize() - 1
//比较当前元素和其父亲节点的元素，大于父亲节点元素则交换位置
siftUp(data.getSize() - 1);
}
/**
* k索引元素比父节点元素大，则交换位置，不断循环
* @param k
*/
private void siftUp(int k){
//k > 0 并且k索引元素比父节点元素大，则交换位置，不断循环
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0){
data.swap(parent(k), k);
k = parent(k);
}
}
/**
* 查看堆中最大元素
* @return
*/
public E findMax(){
if(data.getSize() == 0){
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
}
return data.get(0);
}
/**
* 取出堆中最大元素
* @return
*/
public E extractMax(){
//获取堆中最大元素
E ret = findMax();
//堆中最开始的元素和最后元素交换位置
data.swap(0,data.getSize() - 1);
//删除堆中最后一个元素
data.removeLast();
//0索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
siftDown(0);
return ret;
}
/**
* k索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
* @param k
*/
private void siftDown(int k){
while (leftChild(k) < data.getSize()){
//获取k索引的左孩子的索引
int j = leftChild(k);
//j + 1 < data.getSize()
if(j + 1 < data.getSize() &&
//如果右孩子比左孩子大
data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0){
//最大孩子的索引赋值给j
j = rightChild(k);
}
//此时data[j]是leftChild和rightChild中的最大值
if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0){
//如果父亲节点大于等于左右孩子节点，跳出循环
break;
}
//如果父亲节点小于左右孩子节点(中的最大值)，交换索引的值
data.swap(k, j);
//交换完成之后，将j赋值给K,重新进入循环
k = j;
}
}
/**
* 取出堆中最大元素，并且替换成元素e
* @param e
* @return
*/
public E replace(E e){
//获取堆中的最大值
E ret = findMax();
//用新添加的元素替换最大的元素
data.set(0, e);
//0索引元素比左右孩子节点元素小，则交换位置，不断循环
siftDown(0);
return ret;
}
}
参考：
https://www.cnblogs.com/youch/p/10341675.html
https://blog.csdn.net/love905661433/article/details/82989404
https://blog.csdn.net/weixin_39084521/article/details/90322548
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