摘要：《从数学到哲学》是王浩的代表作，是其正面集中阐释自己哲学思想的作品。循着从柏拉图到哥德尔的“数学-哲学家”传统，王浩在书中首次对实质事实主义一般立场进行了长篇阐发；广泛、深入地讨论了数学哲学的诸议题；探索了心灵与机器、数学与计算机、知识与生活等话题；还重点考察了逻辑和数学领域的一些基本概念。
王浩
三、罗素的逻辑和几个一般问题
1.《数学的原则》
· 罗素的《数学的原则》对纯数学作了一个大胆的定义，将其定义为所有形式为“p蕴涵g”的命题的类，其中p和q是包含一个或多个变元的命题，二者所含变元一致，且p和q都不包含逻辑常项以外的常项。后来这个定义被修订为也包括蕴涵之外的其他真值函项。
· 《原则》的基本论点是，数学和逻辑是同一的，即数学可还原为逻辑。
· 《原则》的另一个全局性问题是关于类的实在论和构造主义的问题。在《原则》中，实在论的立场十分明显。这与罗素后来对逻辑构造的强调截然不同。
· 形式蕴涵和命题函项似乎是相关的。在分析它们时，罗素碰到了新的不可定义概念，如每个项和变元，它们又导向指称、任意的项，以及由命题函项所定义的命题的类。在论指称的一章，我们还遇到了所有的、每个、任意的、一个、一些、这个。
· 在讨论类和悖论时，罗素首先证明了，对于所有的R，不可能有这样的a，它使得对所有的w，wRa≡wRw。我们得放弃x∈x^φx≡φx这条公理，或者放弃每个类都可充作一个项这个原则。
· 罗素提出要区分作为多的类和作为一的类。一个类作为一是一个与这个类的项同类型的对象。对于任何命题函项φx，用这个类的项替换x是有意义的，用这个类本身替换x也是有意义的。一个类作为多也可以是一个逻辑主词，但却只能出现在与这个类的项为主词的命题在类型上不同的命题中。
· 罗素认为，形式真理的正确陈述需要任意的项或者每个项的概念，但不需要所有的项这个集体概念。
· 只有当一个作为多的类不是太大时，它才同时是一个作为一的类。a∈x^φx有时是没有意义的，虽然在a∈x^φx有意义时，a∈x^φx≡φx总是真的。
· 罗素的简单类型论的两个基本假设被明确地陈述如下：T1除了真域,每个命题函项φx还有一个意义域，无论是真是假，φx要成为一个命题，x首先必须位于该域内。T2意义域构成类型，即如果x属于φx的意义域，那么就存在一类对象，亦即x的类型，所有这些对象必须也都属于φx的意义域，无论φ如何变化。
· 所有命题的类型会产生矛盾，这可以通过考虑所有的命题类和所有命题的类k看出来：对于每个命题类m，有一个命题pm（“m中的每个命题都为真”）不属于m。因此pk属于且不属于k。
2.《数学原理》之序曲
· 一个性质φ不能定义一个类，如果存在一个函数f对任意的类u都有：如果(x)(x∈u⊇φx)，则f(u)存在，且φ(f(u)),且f(u)不是u的成员。如果φ定义了w，我们就会得到φ(f(w))和¬φ(f(w))。如果取φ为“是一个序数”，f(u)为“u的序数”，我们就会得到布拉里-福蒂悖论。如果取φ为“是一个基数”，f(u)为“u中最大的基数的幂集的基数”，我们就会得到康托悖论。如果取φ为“不属于自己”，f(u)为u本身，我们就会得到罗素悖论。
· 关于悖论，罗素指出，有些命题函项（通则、属性）并不决定任何类，问题是要给出一些准则，将这些并非谓述性（不做出真值判断）的通则与其他通则区分开。他讨论了三种可选方案：(A)Z形理论；(B)大小限制理论；(C)无类理论。
· 在Z形理论中，比较简单的命题函项总能决定类，只有当它们是复杂晦涩的时候，它们才不能决定类。一个谓述性（可以被判断真假）命题函项的否定总是谓述性的。
· 在大小限制理论中，没有集合可以有补集。如果可以证明φ是一个非谓述的属性，那么很可能我们就可以实际地构造一个序列，它在序关系上类似于全体序数的序列，并完全由具有属性φ的项构成。因此如果满足φ的项可以被排列成这样一个序列，其序关系与序数序列的一个片段相似，那么假定φ是一个谓述的属性不会产生任何矛盾。
· 关于无类理论，罗素暗示将类当作“不完全符号”，把一个类u与一个开语句Fx相关联，从而使“u只有一个成员”变成了(∃b)(x)(x=b≡Fx)。
· 理查德通过考虑所有可用有穷多语词定义的十进制小数的集合，开启了关于语义悖论的研究。理查德解决这个悖论的想法是，不应把可用有穷多语词定义的小数的集合理解为包含任何只能通过指称该集合本身才可定义的小数。
· 庞加莱提议将并非谓述性的通则等同于包含理查德悖论所展示的那种恶性循环的通则。这已经成为一个公认的概念，用术语“非直谓定义”（定义依赖于包含自身的整体）表示。庞加莱的异议主要是针对较高的无穷，他无意让诸如数学归纳法之类的基本原理接受直谓性（一个对象的定义仅依赖于先前已定义的对象，而不涉及包含自身的总体）检验。
3.《数学原理》
· 类型层级的底部是个体对象和一些可应用于个体对象的谓词。我们得到一类原子命题，从它们出发，借助真值函项联结词，我们得到其他命题。存在一些在个体域上取值的变元x等。对这些变元进行量化，我们得到一阶命题函项。引入变元φ1等，它们在这些命题函项上取值，而这里的命题函项可理解为一个开语句（包含自由变量的命题表达式，其真值取决于变量的赋值）Px，或抽象表达式（从具体实例中提取出的高阶概念，通常涉及属性、关系或函数的抽象）P^x，或后者所指称的属性。
· 使用这些变元，我们从…Px…可得到如下一些结果：(φ1)…φ1x…，(x)…φ1x…，(x)…φ1x…，(x)…^φ1x…。它们的阶都是（第三个除外）2。一个命题函项的阶是大于该函项中出现的所有约束变元（包括量化变元和上方带^的变元）的阶的最小的整数。因此一个开语句Fφ的阶由它里面出现的约束变元的阶决定，一个抽象式F^φ（表达式）及其所命名的属性的阶由开语句Fφ的阶和作为抽象化变元的φ的阶决定。一个变元（表达式）的阶则继而由作为该变元的值的那些属性的唯一的阶决定。
· 一个属性的阶必须高于具有该属性的事物的阶。一属性的阶若比具有该属性的事物（用命题函项术语说，即它们的主目）的阶恰高一阶，罗素称之为直谓的。
· 可归约性公理（对于任意高阶命题函项，存在一个等价的一阶命题函项）断言，对于每个开语句Fφ，我们有：(∃φn+1)(φn)(φn+1φn≡Fφn)。即使我们为了表达具有某给定的阶和级的对象的属性而让语言包含了无穷多种变元，借助这条公理，它们也可以由罗素所使用的更小的类中的变元来取代（使得非直谓定义的其本质可归约为直谓定义）。
· 一旦实现这一点，罗素的理论与简单类型论的现代版之间的区别，本质上就变成了属性与满足外延公理的类之间的区别。每个变元或抽象式都具有某个类型i(i=0,1,…)。
（1）形式系统PM
· 一个函项φ出现于其中的命题的真值可能依赖于那个特殊的函项φ，也可能只依赖于φ的外延。在前一种情况中，我们称所涉的命题是φ的一个内涵函项；在后一种情况中，称之为φ的一个外延函项。数学所特别关注的函项之函项，全都是外延性的。如果一个函项φ!z是外延性的，则可以视其为一个关于φ!z所决定的那个类的函项，因为只要那个类不变，该函项的真值就保持不变。
· 通过希尔伯特和阿克曼，某种像系统PM加上外延公理——直接应用于命题函项变元——的东西被保存下来，文献中称之为高阶谓词或函项演算。
4.维特根斯坦和拉姆齐
· T3恶性循环原则（凡是涉及一个集合整体的对象，都不能是该集合自身的成员）和T1、T2一起基本决定了某种形式的分枝类型论。
· 从这些原则我们可以推得：T3a没有类与其成员可以具有相同的类型。由Tl、T2、T3a，我们得到简单类型论。
· 从T3到T3a的推导如下：给定一个函项φ^x，它的值都是形为φx的命题。因此不存在形为φx的命题，其中的x有涉及φ^x的值。否则在函项确定以前，它的值将不都是确定的，然而除非其值先已确定，函项不会是确定的。φ(φ^x)是无意义的。
· 抛弃可归约性公理至少有四种后果。同一性的定义不再可行。不过这可由外延原则（两个集合或谓词是否相同，取决于它们的成员或外延是否相同，而非它们的定义方式或内涵）(x)(φx≡ψx)⊇(F(φ)≡F(ψ))替代。有关高等无穷的概念和结果，如康托定理，不再能得到。古典分析，如最小上界定理，也丢失了。数学归纳法也存在困难。
· 没有可归约性公理，不仅存在不同类型的整数，在每个高于1的类型内，还存在分属无穷多不同阶的整数，因为整数属于每个（固定阶的）归纳类（包含0并在后继运算下封闭的类）。
· 维特根斯坦在《逻辑哲学论》中提出，存在简单对象和原子事实。原子命题，如果为真，描绘原子事实（“意义的图像理论”）。量词被归约为合取和析取。每个简单对象有一个唯一的名字，因此在最终的分析中，等词是不必要的，尽管维特根斯坦不否认，它对数学是有用的，甚至实际上是根本的，在数学中，我们主要的兴趣就在于确定两个不同的摹状词是否有相同的指称。
· 外延原则（5.54）被应用到所有复合命题上：“在命题的一般形式中，命题只作为真值运算的基础出现在其他命题中。”从这些一般断言出发，我们得到命题的一般形式，它通过重复地应用一个推广的竖杠函数到全体原子命题的类上，产生所有命题。
· 整个理论忽视了有穷域和无穷域之间的区别，因此对数学基础而言是无关紧要的。数被明智地按不同思路做了处理：“数是一种运算的幂”（6.021）。
· 最基本的原则或许是原子性原则，它肯定了终极分析的可能性。关于简单对象，维特根斯坦认为，它们更像是物质对象，而非罗素和逻辑实证主义者所提倡的感觉材料。对于这种“逻辑原子主义”立场的提出，摹状词（通过描述性语言指称某个特定对象的短语）理论（限定摹状词不是真正的指称表达式，而是需要被逻辑分析的复杂结构）似乎是一个重要影响因素，根据后者，无指称的词项可以被消去。
· 意义必须通过指称来表达，并且指称对象必须是物质对象。或许可以不是物质对象，但无论如何须是简单对象。逻辑必须在所有可能世界中为真。
· 除非在某个地方命题直接触及实在，否则不可能有解释任何命题之真假的基础。我们也许不知道原子命题是什么，但必定存在这种命题。
· 大概是受布劳威尔的影响，维特根斯坦开始认识到《逻辑哲学论》中的两个基本错误。第一个错误是关于原子命题。“他和罗素都认为非原子命题可以被‘分析’为原子命题，但我们却不知道这样的分析是什么样的。他现在的观点是，谈论‘最终的分析’是无意义的。”他愿意在任何语境中将未分析的（而不是不可分析的）命题当作原子的。
· 第二个重要错误是他将一般命题分析为合取式。“他先前被(x)Fx几可由Fa∧Fb∧Fc∧…替代的事实误导了，没有认识到后一表达式并非总是一个逻辑积（通过合取运算组合多个命题或变量后得到的结果），只有当那些点是他所谓的‘偷懒的点’时，它才是一个逻辑积。”
· 拉姆齐重新解释了简单类型论。他列出了《原理》中的三个基本错误。首先，这个理论等于说，每个类都有一个可用来定义它的属性。它对类下了一个只适用于可定义类的定义，这使得所有关于某些或全体类的数学命题都被曲解了。在每个形式语言中都有不可定义的类。拉姆齐似乎暗示，绝对不可定义的类也是可能的。即使事实上所有类都可定义，我们也无法在逻辑中将类等同于可定义类而不破坏逻辑的先验性和必然性，后二者是逻辑的本质。其次，《原理》未能区分语义悖论和数学悖论。第三，对等同的处理是一种曲解，因为它没有界定等同符号被实际使用的意义。
· 拉姆齐的观点是实在论的，一视同仁地对待有穷集和无穷集。在他看来，所有数学真理都是（真值函项的）重言式（对于它的任一解释下其真值都为真的公式），虽然有时是关于无穷多命题的。
· 个体的直谓函项是这样的真值函项，其主目（无论有穷多还是无穷多）或者是个体的原子函项或者是原子命题。接受主目数量可以无穷多，意味着我们不把函项的范围限制在那些能够以某种方式构造的函项上，而是通过描述其意义来确定它们。
· 按照拉姆齐的观点，可归约性公理变得不再必要，取而代之的是概括公理（对于任何给定的性质，可以构造一个包含所有满足该性质的元素的集合），后者在形式上与前者十分相似，但在关于类或无穷真值函项的实在论立场下，它是真的。依照《原理》的解释，可归约性公理既不是矛盾式（它可能为真），也不是重言式（它可能为假）。
· 选择公理（对于任何一族非空集合，存在一个选择函数可以从每个集合中选出一个元素）在两种解释下的表现也类似。它在实在论解释下是一个重言式，这得自如下事实：所有的限定都能确定一个（属于某给定类型的）类，因为我们在每个类型中都设想所有可能的对象类。
· 仍然比较麻烦的是无穷公理（存在一个集合，包含空集，并且如果某个元素属于该集合，则其后继元素也属于该集合），因为它专注于“个体”，并且拒绝赋予数或递归构造一个独立的地位。
· 拉姆齐的评论在数学上的意义不大，因为他没有告诉我们如何用有穷方法证明概括公理是一致的（当存在无穷多属于某给定类型的对象时），也没有告诉我们如何解决选择公理相对于（非无限复杂的）证明的独立性问题。
· 至于公理在构造性理论中的情况，我们实际可以观察到可归约性公理为假（因为存在高阶的类不与低阶的类等外延），选择公理为真（因为论域是可数的，相应的直观模型通过阶数足够高的类保证了选择的可能性）。
5.逻辑真及其他哲学问题
· 《原则》第二版的导言可以看作是罗素的逻辑哲学观点的一个总结。其中心主题是逻辑真和逻辑常项，而主要的结论是，他尚未找到一个对逻辑的适当定义。
· 罗素认为,逻辑命题必须具有完全的普遍性，并基于其形式为真。在逻辑命题的语言或符号表达式中，除逻辑常项之外，没有任何常项出现。不管S、P和M取什么可能的值，如果所有的M都是P,并且S是一个M，那么S是P。对罗素来说，这表征了一个逻辑命题。
· 根据罗素的说法，在尽最大努力缩减逻辑演算中的未定义项之后，我们会发现还剩下两项是不可或缺的：其一是不相容性；其二是命题函项的所有值都为真这个概念。这两项是不相容析取和全称概括。类成员关系没有被包括在内，它可能被合理地认为不属于逻辑的范畴。
· 罗素很可能认为，谓述关系不必被看作额外的初始项，但它发挥了类成员关系的作用。这样一种观点具有误导性，因为我们确实需要关于谓述的特殊公理，而不相容析取和全称概括就其本质而言并未对它们做出要求。
· 《逻辑哲学论》中提到，在适当的记法（一种理想语言）下，逻辑常项就像标点符号或括号一样（4.441，5.4，5.4611，5.474）。因此没有任何成分（对象或对象的复合）与它们对应；不存在“逻辑对象”。这个提法有助于逻辑常项的选取，但前提是存在记法适当与否的独立标准。
· 不包含非逻辑常项这一点虽然是逻辑命题的必要条件，但不构成逻辑命题的充分条件。如果我们不要求逻辑真理具有任何另外的属性，我们就会被迫接受蒯因曾表达过的一种观点，即任何陈述只要例示了一个有效的陈述形式，并且不包含非逻辑常项，就逻辑地为真。这样我们将不得不接受这样一些陈述为逻辑真理，它们之为真，依赖于相关论域的大小。
6.直谓定义和恶性循环原则
· 在《原理》中，恶性循环原则的表述基本如下：“（la）恶性循环原则。没有总体能够包含只有借助该总体才能定义的成员；只有用一个集合的全体才能定义的东西，必不是该集合的成员。”这一表述是高度歧义的。其中一些歧义可通过检查罗素的正面学说来消解，另外一些则需要不同程度的进一步的分析。
· 罗素的分枝类型论以多种方式预设了有穷性的概念。（i）在该理论的语法描述中，我们需要谈论所有的有穷阶n，在每个阶之内，我们需要设想可通过真值函项和量化得到的所有有穷组合。（ii）后继函数的定义预设了任意有穷数量的重复应用。（iii）即使是用物理世界解释的无穷公理，也必须预设有穷性的概念是有意义的。
· 关于递归定义的可接受性，恶性循环原则未做明确陈述。一方面，我们可以辩解，既然我们无论如何都理解有穷性和递归定义，它们就是可接受的且不违反恶性循环原则。另一方面，人们可能指出，x∈B的一个显定义将形如(A)((**∈A∧(z)(z∈A⊇z**∈A))⊇x∈A)，它显然是非直谓的。
· 如果我们抛开关于混合类型的禁令（它与恶性循环原则无关），罗素似乎愿意接受一种有穷类理论。核心的问题在于以直谓的方式达到取值范围为（全体）有穷类或自然数的变元。我们有理由认为所有这些有穷类的集合C不是一个非法的总体吗？
· 原则（la）似乎不能为这个问题提供一个明确的答案。我们不禁要问，是否有任何方法可以在不违背恶性循环原则的情况下引入一个无穷总体。
· 无论解决办法是什么，我们当然希望使用一个无穷总体作为进一步构造的基础。像C这样的一个总体当然是可接受的，即使它应该被视为违背了（la）,因为我们确实理解有穷性的概念。鉴于我们可以通过这个概念达到总体C和数集N，我们不必选择恰巧违背（la）的特殊方式引入这些总体。我们得到的结论是，C和N是合法总体，在它们的基础上，我们可以设计进一步的直谓定义。
· 我们这里考虑的定义概念比界定的一般范畴要窄，后者对于我们想保留的构造性特征没有倾向。一方面，数集的非直谓定义并不是定义，而是相对于一个预想的实在主义模型的界定。另一方面，这些表达是对对象的非直谓界定，而那些对象则预先以直谓的方式被定义好了。
· 我们要求直谓定义构成一种良序，使得每个类由这样一个成员条件定义，该条件中所有变元的值都只能是由那个良序中更早出现的定义引入的东西。这样在后的定义不会干扰在先的定义。
· 给定一类序数和一个初始理论（比如有穷类或自然数的理论），存在借助超穷归纳构建直谓集合论的标准程序：在后继序数处有直接的直谓扩张，在极限序数处则取并。
· 一个直谓系统，既然不包含可取任意序数集为值的变元，如何能真实地表达“是一个良序”这个性质？在很多情况下，不受限制的良序定理在经典意义上为真，如果其受限形式在给定的直谓系统中可证。
· 在对直谓定义的刻画中，我们是否应该在为真之上再加上知识方面的要求？我们是否应该要求递归性构造性地可证？对于这两个问题，合理的回答似乎都是同时发展两种解释。
· 全体超算术集的类HC的每一个成员都可以在不使用HC这个总体的前提下得到定义，尽管“是HC的一个成员”这个抽象属性无法在不使用HC自身的前提下定义。既然HC不包含任何只有用HC才可定义的成员，原则（la）就没有被违反。
· 哥德尔论证了，客观上说，恶性循环原则是假的。从一种构造主义的观点或认为名字是按某种顺序被引入的唯名论的立场看，人们可能认为这个原则已然得到确立，因为我们没有超越它的构造性方法。不过如何容纳布劳威尔的自由选择序列这个问题或许向我们表明，这个原则是不充分的。
参考文献
王浩，《从数学到哲学》
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