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不等式之目：2014年理数全国卷A题24

不等式之目：2014年理数全国卷A题24

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-08 18:22 被阅读0次

2014年理数全国卷A题24

（24）（本小题满分10分）选修4-5∶不等式选讲
若 a>0，b>0 ，且\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{ab}
（I）求 a^3+b^3 的最小值;
（Ⅱ）是否存在 a,b, 使得 2a＋3b=6 ? 并说明理由.

【解答问题I】

∵ a>0，b>0 ，

∴ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}},

又 ∵ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{ab}，

∴ \sqrt{ab} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}

∴ ab \geqslant 2

a^3b^3 \geqslant 8

a^3+b^3 \geqslant 2 \sqrt{a^3b^3}

a^3+b^3 \geqslant 4 \sqrt{2}.

结论：a^3+b^3 的最小值为 4\sqrt{2}.

【解答问题Ⅱ】

∵ 2a+3b \geqslant 2 \sqrt{2a \cdot 3b}

根据问题I的结论有：\sqrt{ab} \geqslant \sqrt{2}

∴ 2a+3b \geqslant 4 \sqrt{3} \gt 6

结论：若 a,b 均为正数，则 2a＋3b=6 无解.

【提炼与提高】

本题难度较低。根据基本不等式，很容易解答，适合用作不等式部分的同步补充习题。

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